Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €8 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 1% per metus. Reikalaujama grąža 5% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €8 000g = 1%r = 5%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€250 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metų, esant 5,4% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 15-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
P = €250 0005,4% / 12N = 360k = 180
B = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €80 000. Kiekvienų metų pabaigoje 8 metų ji generuoja €11 500, o po to gali būti parduota už €16 000. Kapitalo kaina 8%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €80 000CF = €11 500S = €16 000n = 8r = 8%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €12 500, €8 500, €8 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 12 500CF2 = 8 500CF3 = 8 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 10 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 8%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 7%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 6%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 10y0 = 7%y1 = 6%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 6%, išperkama po 7 metų ir parduodama už €870. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 7P = €870
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €6 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €8 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 12%. Jos skolą sudaro 4 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%, iki išpirkimo 12 metų), kurių kiekviena parduodama už €1 137. Mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 110 z įvertį z.
μ = 70σ = 20x = 110
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,2, 0,25, 0,15, 0,2
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 5 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,3. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 5p = 0,3
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 50,5 ir 70,5 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 65σ = 10x1 = 50,5x2 = 70,5
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
Populiacijos standartinis nuokrypis – 37. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?
σ = 37E = 2,590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
81 studentų imties vidutinis rezultatas – 69,22, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 69,22s = 20n = 81
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 5 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 21. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (7, 27). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(7, 27)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 200000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
N − k = 360 − 180 = 180
B = 1404·(1 − (1 + 0,0045)−180)/0,0045 = €172 930,54
Atsakymas
B = €172 930,54
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −5269 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
11 500·5,747 = 66 086,35
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
16 000/1,851 = 8 644,30
NPV
NPV = −80 000 + 66 086,35 + 8 644,30 = −€5 269,35
Atsakymas
NPV = −€5 269,35
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 23,29 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 949,07
NPV(25%) = −464,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 20 + 5·949,07/(949,07 − (−464,00)) = 23,36%
tiksliai: NPV(23,29%) = 0 → IRR = 23,29%
Atsakymas
IRR = 23,29%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 13,62 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€870 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Skaitinis sprendimas
P(8%) = €895,87, P(9%) = €849,01
YTM = 8,544%
Atsakymas
YTM = 8,544%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,484 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €12 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·4%·(1 − 0,258) = 7,484%
Atsakymas
WACC = 7,484%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,955 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (110 − 70)/20 = 2
Atsakymas
z = 2
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,947
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,75 = 0,1681
P(X = 1) = 5·0,3·0,74 = 0,3601
Sudėkite
P = 0,1681 + 0,3601 = 0,5282
Atsakymas
P = 0,5282
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,6353
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515
Atsakymas
P = 0,9515
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 57,19
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Paklaidos riba
E = 1,812·4/√11 = 2,185
Intervalas
55 ± 2,185 → [52,81, 57,19]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 57,19
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 593
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·37/2,5)² = 592,7
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 593
Atsakymas
n = 593
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,601
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 279
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,645)·21/5)² = 278,2
Apvalinkite aukštyn
n = 279
Atsakymas
n = 279
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,7273
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 114/5 = 22,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −8
Syy = Σ(y − ȳ)² = 8,8
Determinacijos koeficientas
r² = −8²/(10·8,8) = 0,7273
Atsakymas
r² = 0,7273
Apie 72,73% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 2,333
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 148/6 = 24,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212
Regresijos tiesė
b = 212/70 = 3,029
a = 24,67 − 3,029·7 = 3,467
ŷ = 3,467 + 3,029·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 3,467 + 3,029·7 = 24,67
Liekana
e = 27 − 24,67 = 2,333
Atsakymas
e = 2,333
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.