Investuojate €12 000 esant 2 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 8 metų.
PV = €12 0002% / 12n = 8
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Pasiskolinate €10 000 esant 3,6 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €125. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.
P = €10 000A = €1253,6% / 12
N = įmokos
3.NPV ir IRRVidutinis
€20 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €8 000, €5 000, €9 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €11 500, €12 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 12 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 13 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 050, kai pajamingumas iki išpirkimo 4%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 13P = €1 050YTM = 4%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 5%, išperkama po 6 metų ir parduodama už €1 080. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 6P = €1 080
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė finansuojama €10 000 000 vertės paprastosiomis akcijomis, €500 000 vertės privilegijuotosiomis akcijomis ir €3 000 000 vertės skola. Nuosavo kapitalo kaina 10%, privilegijuotųjų akcijų kaina 7,5%, skolos kaina prieš mokesčius 4%. Mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 1. Ji planuoja 0,4 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 21%, nerizikinga norma 3%, o rinkos rizikos premija 6%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Kokia dalis reikšmių yra tarp 30,2 ir 39,2 min? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 32σ = 6x1 = 30,2x2 = 39,2
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad pristatymo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 32 min, standartinis nuokrypis 6 min. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
8 elementų imties vidurkis – 78, standartinis nuokrypis s = 15,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 8x̄ = 78s = 15,590%t(7) = 1,895
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,7. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?
p ≈ 0,7E = 0,0399%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
81 studentų imties vidutinis rezultatas – 71,33, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 71,33s = 15n = 81
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2,5 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 8. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 1,5.
n = 6x = 1,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 14080 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pertvarkykite anuiteto formulę
i = 0,003
(1 + i)−N = 1 − 10 000·0,003/125 = 0,76
Spręskite logaritmais
N = −ln(0,76)/ln(1,003) = 91,62
Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų
Po 91 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.
N = 92
Atsakymas
N = 92 įmokos
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −1161 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 8 000/1,08 = 7 407,41
CF2/(1 + 0,08)2 = 5 000/1,166 = 4 286,69
CF3/(1 + 0,08)3 = 9 000/1,26 = 7 144,49
Sudėkite
NPV = €−1 161,41
Atsakymas
NPV = €−1 161,41
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 12,87 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(10%) = 785,12
NPV(15%) = −548,20
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 10 + 5·785,12/(785,12 − (−548,20)) = 12,94%
tiksliai: NPV(12,87%) = 0 → IRR = 12,87%
Atsakymas
IRR = 12,87%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 4,501 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,04)−13 = €600,57
Kuponas
C = (1050 − 600,57)/9,986 = €45,01
Kupono norma
c = 45,01/1000 = 4,501%
Atsakymas
c = 4,501%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 3,499 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 080 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Skaitinis sprendimas
P(3%) = €1 108,34, P(4%) = €1 052,42
YTM = 3,499%
Atsakymas
YTM = 3,499%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,307 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 1·(1 + 0,79·0,4) = 1,316
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 3% + 1,316·6% = 10,9%
Atsakymas
re = 10,9%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 14,77
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (85 − 70)/12 = 1,25
Atsakymas
z = 1,25
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,89
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,05 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,35 = 2,9
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,05 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,35 = 9,3
Dispersija
Var(X) = 9,3 − 2,9² = 0,89
Atsakymas
Var(X) = 0,89
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 24,82
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 26, Var(X) = 154, σX = 12,41
Tiesinis pokytis
σY = |2|·12,41 = 24,82
Atsakymas
σY = 24,82
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·26 + 4 = 56.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,5028
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (30,2 − 32)/6 = −0,3
z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2
Plotas tarp
P = Φ(1,2) − Φ(−0,3) = 0,8849 − 0,3821 = 0,5028
Atsakymas
P = 0,5028
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 39,69 min
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Atgal į x
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Atsakymas
x = 39,69 min
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 10,38
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 7, t = 1,895
Paklaidos riba
E = 1,895·15,5/√8 = 10,38
Atsakymas
E = 10,38
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1549
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 2,576²·0,7·0,3/0,03² = 1548
Apvalinkite aukštyn
n = 1549
Atsakymas
n = 1549
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,202
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 134
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,282)·8/2,5)² = 133,3
Apvalinkite aukštyn
n = 134
Atsakymas
n = 134
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9911
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 311/6 = 51,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 816,8
Koreliacijos koeficientas
r = 118,5/√(17,5·816,8) = 0,9911
Atsakymas
r = 0,9911
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 22,55
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 113/6 = 18,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32,5
Regresijos tiesė
b = −32,5/17,5 = −1,857
a = 18,83 − (−1,857)·3,5 = 25,33
ŷ = 25,33 − 1,857·x
Prognozė
ŷ = 25,33 + (−1,857)·1,5 = 22,55
Atsakymas
ŷ = 22,55
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.