Investuojate €8 000 esant 3 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 5 metų.
PV = €8 0003% / 12n = 5
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 30 metus atidedate €100. Sąskaita moka 3,6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1003,6% / 12N = 360
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €100 000. Kiekvienų metų pabaigoje 5 metų ji generuoja €26 000, o po to gali būti parduota už €10 000. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €100 000CF = €26 000S = €10 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €29 500, €16 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 29 500CF2 = 16 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 6 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 2,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4,5%YTM = 2,5%n = 6
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 8%, išperkama po 5 metų ir parduodama už €925. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 5P = €925
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €10 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €1 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 9%, skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 30%. Raskite WACC.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,6. Ji planuoja 0,75 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 21%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 5,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 15. Raskite rezultato 32 z įvertį z.
μ = 50σ = 15x = 32
z =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 15 žmonių grupės galima išrinkti 4 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 15k = 4
N =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 8 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,5. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 8p = 0,5
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0436. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0436
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 25 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 3. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 225 stebėjimų?
95%n₁ = 25E₁ = 3n₂ = 225
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 16. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 16E = 299%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 98, standartinis nuokrypis 11. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 93,2, standartinis nuokrypis 9. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 7x̄₁ = 98s₁ = 11n₂ = 5x̄₂ = 93,2s₂ = 9
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
36 matavimų imties vidurkis – 48,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 4. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.
x̄ = 48,3σ = 4n = 3699%
U =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 19?
n = 6ŷ = 19
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 9293 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
26 000·3,791 = 98 560,46
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
10 000/1,611 = 6 209,21
NPV
NPV = −100 000 + 98 560,46 + 6 209,21 = €4 769,67
Atsakymas
NPV = €4 769,67
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 10,09 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(10%) = 41,32
NPV(15%) = −2 249,53
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 10 + 5·41,32/(41,32 − (−2 249,53)) = 10,09%
tiksliai: NPV(10,09%) = 0 → IRR = 10,09%
Atsakymas
IRR = 10,09%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1111 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, i = 0,0125, N = 12
Kuponų dabartinė vertė
€22,50·(1 − 0,8615)/0,0125 = €249,28
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,8615 = €861,51
Kaina
P = €1 110,79
Atsakymas
P = €1 110,79
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 9,977 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€925 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Skaitinis sprendimas
P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18
YTM = 9,977%
Atsakymas
YTM = 9,977%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,405 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 0,6·(1 + 0,79·0,75) = 0,9555
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 0,9555·5,5% = 7,255%
Atsakymas
re = 7,255%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 16,1
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (32 − 50)/15 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 1365
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(15, 4) = (15·14·13·12)/(4·3·2·1) = 1365
Atsakymas
N = 1365
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,03516
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,58 = 0,003906
P(X = 1) = 8·0,5·0,57 = 0,03125
Sudėkite
P = 0,003906 + 0,03125 = 0,03516
Atsakymas
P = 0,03516
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,71
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0436 = 0,9564
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9564 ir nuskaitykite z.
z = 1,71
Atsakymas
z = 1,71
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,8413
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standartizuokite
z = (0 − 10)/10 = −1
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Atsakymas
P = 0,8413
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 1
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(25/225) = 0,3333
Nauja paklaidos riba
E₂ = 3·0,3333 = 1
Atsakymas
E₂ = 1
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 425
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·16/2)² = 424,7
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 425
Atsakymas
n = 425
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 0,8
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (6·11² + 4·9²)/10 = 105
sp = 10,25
Standartinė paklaida
SE = 10,25·√(1/7 + 1/5) = 6
Testo statistika
t = (98 − 93,2)/6 = 0,8
Atsakymas
t = 0,8
Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: U = 50,02
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·4/√36 = 1,717
Intervalo rėžis
U = 48,3 + 1,717 = 50,02
Atsakymas
U = 50,02
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9587
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 589/6 = 98,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 309
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1423
Determinacijos koeficientas
r² = 309²/(70·1423) = 0,9587
Atsakymas
r² = 0,9587
Apie 95,87% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 2,446
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 99/6 = 16,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41,5
Regresijos tiesė
b = −41,5/17,5 = −2,371
a = 16,5 − (−2,371)·3,5 = 24,8
ŷ = 24,8 − 2,371·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (19 − 24,8)/(−2,371) = 2,446
Atsakymas
x = 2,446
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.