CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 24% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.

r = 24%m = 4

EAR = %

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€12 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metus. Palūkanų norma – 5,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.

P = €12 0005,4% / 12N = 36

A = €

3.NPV ir IRRVidutinis

€30 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €10 000, €7 000, €12 000, €12 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 7 000CF₃ = 12 000CF₄ = 12 000

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €50 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €9 000 ir auga 5 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 6-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €50 000CF₁ = €9 000g = 5%n = 6r = 12%

NPV = €

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 5 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 068, kai pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Raskite kupono normą c procentais.

F = €1 000n = 5P = €1 068YTM = 3,5%

c = %

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 10 metų. Ji parduodama už €740. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.

F = €1 000kuponas = 5% (2×)n = 10P = €740

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonė finansuojama €6 000 000 vertės paprastosiomis akcijomis, €2 000 000 vertės privilegijuotosiomis akcijomis ir €2 000 000 vertės skola. Nuosavo kapitalo kaina 14%, privilegijuotųjų akcijų kaina 8%, skolos kaina prieš mokesčius 4,5%. Mokesčio tarifas 25%. Raskite WACC.

E = €6 000 000P_s = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_p = 8%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 4 000 000 akcijų po €49,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 21%. Akcijos beta koeficientas – 0,9, nerizikinga palūkanų norma – 3%, rinkos grąža – 7,5%. Raskite WACC.

β = 0,9r_f = 3%r_m = 7,5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 20, 14, 11, 52, 60, 36, 40.

n = 7

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 8. Raskite rezultato 163,6 z įvertį z.

μ = 170σ = 8x = 163,6

z =

11.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

12.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €1. Laimite €4 su tikimybe 0,25 ir €10 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €1€4: p = 0,25€10: p = 0,02

E(G) = €

13.Normalusis skirstinysVidutinis

varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 10 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 396,2 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 10< 396.2 g

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 80 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

12 elementų imties vidurkis – 67,5, standartinis nuokrypis s = 18,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n = 12x̄ = 67,5s = 18,599%t(11) = 3,106

apatinis rėžis =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Populiacijos standartinis nuokrypis – 31. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?

σ = 31E = 195%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

49 studentų imties vidutinis rezultatas – 118,7, imties standartinis nuokrypis – 10. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,7s = 10n = 49

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

81 matavimų imties vidurkis – 100,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 8. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 100,6σ = 8n = 8190%

L =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 71?

n = 5ŷ = 71

x =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: EAR = 26,25 %

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laikotarpio norma

r/m = 0,24/4 = 0,06

Kapitalizuokite per vienus metus

EAR = (1 + 0,06)⁴ − 1 = 1,262 − 1 = 26,25%

Atsakymas

EAR = 26,25%

Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 361,8 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·3 = 36

Įmoka

N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.

(1 + i)^−N = 0,8508

A = 12 000·0,0045/(1 − 0,8508) = €361,81

Atsakymas

A = €361,81

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 3607 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 10 000/1,08 = 9 259,26

CF₂/(1 + 0,08)² = 7 000/1,166 = 6 001,37

CF₃/(1 + 0,08)³ = 12 000/1,26 = 9 525,99

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 12 000/1,36 = 8 820,36

Sudėkite

NPV = €3 606,98

Atsakymas

NPV = €3 606,98

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −8720 €

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,05)/(1,12))⁶ = 0,6789

PV = 9 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,6789) = 41 279,89

NPV

NPV = 41 279,89 − 50 000 = −€8 720,11

Atsakymas

NPV = −€8 720,11

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: c = 5,006 %

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Nominalios vertės dabartinė vertė

1000·(1 + 0,035)⁻⁵ = €841,97

Kuponas

C = (1068 − 841,97)/4,515 = €50,06

Kupono norma

c = 50,06/1000 = 5,006%

Atsakymas

c = 5,006%

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 8,997 %

Vienam laikotarpiui

C = €25,00, N = 20

Skaitinis sprendimas

i = 4,499% per pusmetį

YTM

YTM = 2·4,499% = 8,997%

Atsakymas

YTM = 8,997%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 10,68 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = 6 000 000 + 2 000 000 + 2 000 000 = €10 000 000

E/V = 0,6, P_s/V = 0,2, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,6·14% + 0,2·8% + 0,2·4,5%·(1 − 0,25) = 10,68%

Atsakymas

WACC = 10,68%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,907 %

Rinkos vertės

E = 4 000 000·€49,50 = €198 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 3% + 0,9·4,5% = 7,05%

Svoriai

V = €207 600 000, E/V = 0,9538, D/V = 0,04624

WACC

WACC = 0,9538·7,05% + 0,04624·5%·(1 − 0,21) = 6,907%

Atsakymas

WACC = 6,907%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 18,98

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 233/7 = 33,29

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−13,29)² + (−19,29)² + (−22,29)² + 18,71² + 26,71² + 2,714² + 6,714² = 2161

Standartinis nuokrypis

s = √(2161/6) = 18,98

Atsakymas

s = 18,98

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = −0,8

Standartizuokite

z = (163,6 − 170)/8 = −0,8

Atsakymas

z = −0,8

11.Tikimybė

Atsakymas: σ = 0,8367

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Dispersija

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Atsakymas

σ = 0,8367

12.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 0,2 €

Grynosios baigtys

G: 3 (p = 0,25), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)

Laukiamoji vertė

E(G) = 3·0,25 + 9·0,02 − 1·0,73 = 0,2 €

Atsakymas

E(G) = 0,2 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,1587

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 400 g, σ_T = 1,2·√10 = 3,795 g

Standartizuokite

z = (396,2 − 400)/3,795 = −1

Tikimybė

P = Φ(−1) = 0,1587

Atsakymas

P = 0,1587

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 245,8 g

Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.

Plotas kairėje

Φ(z) = 0,2

z iš lentelės

z ≈ −0,84

Atgal į pradinius vienetus

x = 250 − 0,84·5 = 245,8 g

Atsakymas

x = 245,8 g

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 50,91

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Paklaidos riba

E = 3,106·18,5/√12 = 16,59

Intervalas

67,5 ± 16,59 → [50,91, 84,09]

Atsakymas

apatinis rėžis = 50,91

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 3692

Išreikškite n

n = (1,96·31/1)² = 3692

Apvalinkite aukštyn

Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.

n = 3692

Atsakymas

n = 3692

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −0,91

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Testo statistika

t = (118,7 − 120)/1,429 = −0,91

Atsakymas

t = −0,91

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 99,14

Paklaidos riba

E = 1,645·8/√81 = 1,462

Intervalo rėžis

L = 100,6 − 1,462 = 99,14

Atsakymas

L = 99,14

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,9922

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 691/6 = 115,2

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 733,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3443

Determinacijos koeficientas

r² = 733,5²/(157,5·3443) = 0,9922

Atsakymas

r² = 0,9922

Apie 99,22% y kitimo paaiškinama tiese.

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 5,525

Vidurkiai

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 310/5 = 62

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

Regresijos tiesė

b = 59/10 = 5,9

a = 62 − 5,9·4 = 38,4

ŷ = 38,4 + 5,9·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (71 − 38,4)/5,9 = 5,525

Atsakymas

x = 5,525

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income