Po 6 metų jums reikės €15 000. Sąskaita moka 3,6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €15 0003,6% / 4n = 6
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€12 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metus. Palūkanų norma – 4,2 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €12 0004,2% / 12N = 36
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€75 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €18 000, €35 000, €33 000. Kapitalo kaina – 6 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €14 500, €17 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 17 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 10 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 8%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 4,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 8%n = 10y0 = 5,5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 5 metų ir parduodama už €935. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 5P = €935
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 1,25, reikalaujama grąža 9,75%. Nerizikinga norma 1%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 1,25re = 9,75%rf = 1%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 4 000 000 akcijų po €49,00 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 3%, rinkos grąža – 9%. Raskite WACC.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,3182. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,3182
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 101,9, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 101,9s = 8n = 25
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 3 vienetų vidurkio poslinkį su 95 % galia. Standartinis nuokrypis 6. Raskite mažiausią imties dydį n.
α = 0,01galia = 95%δ = 3σ = 6zα = 2,326zβ = 1,645
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (1,5, 18). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(1,5, 18)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 12098 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·6 = 24
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,24 = €12 097,71
Atsakymas
PV = €12 097,71
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 355,4 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·3 = 36
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,8818
A = 12 000·0,0035/(1 − 0,8818) = €355,36
Atsakymas
A = €355,36
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = 838,4 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 18 000/1,06 = 16 981,13
CF2/(1 + 0,06)2 = 35 000/1,124 = 31 149,88
CF3/(1 + 0,06)3 = 33 000/1,191 = 27 707,44
Sudėkite
NPV = €838,44
Atsakymas
NPV = €838,44
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 16,41 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 463,14
NPV(20%) = −1 111,11
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€935 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
Skaitinis sprendimas
P(4%) = €955,48, P(5%) = €913,41
YTM = 4,48%
Atsakymas
YTM = 4,48%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 8 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (9,75% − 1%)/1,25 = 7%
Rinkos grąža
rm = 1% + 7% = 8%
Atsakymas
rm = 8%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,02 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (160 − 170)/20 = −0,5
Atsakymas
z = −0,5
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 5,31
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,2 + 2·0,3 + 4·0,15 + 6·0,35 = 3,3
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,2 + 4·0,3 + 16·0,15 + 36·0,35 = 16,2
Dispersija
Var(X) = 16,2 − 3,3² = 5,31
Atsakymas
Var(X) = 5,31
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 2,857
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,4, Var(X) = 2,04, σX = 1,428
Tiesinis pokytis
σY = |−2|·1,428 = 2,857
Atsakymas
σY = 2,857
Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·2,4 + 1 = −3,8.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,41
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,3182)/2 = 0,6591
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,6591 ir nuskaitykite z.
z = 0,41
Atsakymas
z = 0,41
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9452
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452
Atsakymas
P = 0,9452
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 114,7
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 29, t = 2,045
Paklaidos riba
E = 2,045·4,5/√30 = 1,68
Intervalas
113 ± 1,68 → [111,3, 114,7]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 114,7
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −17,9 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (5·5² + 9·5,5²)/14 = 28,38
sp = 5,327
Paklaidos riba
E = 2,145·5,327·√(1/6 + 1/10) = 5,9
Intervalas
−12 ± 5,9 → [−17,9, −6,1]
Atsakymas
apatinis rėžis = −17,9 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,188
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 64
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,645)·6/3)² = 63,08
Apvalinkite aukštyn
n = 64
Atsakymas
n = 64
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9644
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 98/5 = 19,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29
Syy = Σ(y − ȳ)² = 87,2
Determinacijos koeficientas
r² = −29²/(10·87,2) = 0,9644
Atsakymas
r² = 0,9644
Apie 96,44% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −4,895
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37
Regresijos tiesė
b = −37/17,5 = −2,114
a = 18,67 − (−2,114)·3,5 = 26,07
ŷ = 26,07 − 2,114·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 26,07 + (−2,114)·1,5 = 22,9
Liekana
e = 18 − 22,9 = −4,895
Atsakymas
e = −4,895
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.