Po 4 metų jums reikės €25 000. Sąskaita moka 3 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €25 0003% / 12n = 4
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 12 metų įnešate €2 500, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 7% per metus. Kiek bus sąskaitoje 12-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €2 500i = 7%n = 12
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €400 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €18 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 3% per metus. Kapitalo kaina 8%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €400 000CF1 = €18 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €6 500, €6 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 6 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 6 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 2%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 6,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 6y0 = 5,5%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą ir išperkama po 6 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 2,5%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 6YTM = 2,5%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 0,9, reikalaujama grąža 8,8%. Nerizikinga norma 2,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 0,9re = 8,8%rf = 2,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €38,50 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 4,5%, mokesčio tarifas – 28%. Akcijos beta koeficientas – 1,3, nerizikinga palūkanų norma – 3,5%, rinkos grąža – 8,5%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 5. Raskite rezultato 64 z įvertį z.
μ = 70σ = 5x = 64
z =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 9 žmonių grupės galima išrinkti 5 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 9k = 5
N =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 8 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,2, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?
n = 8p = 0,2k = 3
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,9566. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9566
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 95 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
13 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −5,9, o standartinis nuokrypis 3,6. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 13d̄ = −5,9sd = 3,699%t(12) = 3,055
E = mmHg
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
30 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 3,8 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 29, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 16,047, o 2,5 % – aukščiau 45,722.
n = 30s = 3,8 µmχ² = 16,047, 45,722
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 50 detalių imties vidutinis ilgis 139 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 6 mm. 2 linija: 40 detalių imties vidurkis 143,8 mm, žinomas standartinis nuokrypis 18 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 500 prieš H₁: μ > 500 atliekamas, kai α = 0,01, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 24. Iš tikrųjų vidurkis lygus 509. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 500μ = 509σ = 24n = 64α = 0,01
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 61?
n = 6ŷ = 61
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 22176 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·4 = 48
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,127 = €22 176,33
Atsakymas
PV = €22 176,33
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 47852 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,07)12 − 1)/0,07 = 17,89
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 2 500·17,89·1,07 = €47 851,61
Atsakymas
FV = €47 851,61
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −40000 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 18 000/(0,08 − 0,03) = 360 000,00
NPV
NPV = 360 000,00 − 400 000 = −€40 000,00
Atsakymas
NPV = −€40 000,00
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 16,5 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 189,04
NPV(20%) = −416,67
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 15 + 5·189,04/(189,04 − (−416,67)) = 16,56%
tiksliai: NPV(16,5%) = 0 → IRR = 16,5%
Atsakymas
IRR = 16,5%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 0,9499 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 50/1,025 = 48,78, t·PV = 48,78
t = 2: 50/1,051 = 47,59, t·PV = 95,18
t = 3: 50/1,077 = 46,43, t·PV = 139,29
t = 4: 50/1,104 = 45,30, t·PV = 181,19
t = 5: 50/1,131 = 44,19, t·PV = 220,96
t = 6: 1050/1,16 = 905,41, t·PV = 5 432,47
Trukmė
P = 1 137,70
D = 6 117,88/1 137,70 = 5,377
Atsakymas
D = 5,377 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 9,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (8,8% − 2,5%)/0,9 = 7%
Rinkos grąža
rm = 2,5% + 7% = 9,5%
Atsakymas
rm = 9,5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,651 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (64 − 70)/5 = −1,2
Atsakymas
z = −1,2
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 126
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126
Atsakymas
N = 126
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1468
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,9566)/2 = 0,9783
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9783 ir nuskaitykite z.
z = 2,02
Atsakymas
z = 2,02
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 258,2 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,95
z iš lentelės
z ≈ 1,64
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 + 1,64·5 = 258,2 g
Atsakymas
x = 258,2 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 3,05 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 12, t = 3,055
Paklaidos riba
E = 3,055·3,6/√13 = 3,05
Atsakymas
E = 3,05 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 3,026 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 29·3,8² = 418,8
σ² rėžiai
418,8/45,722 = 9,159
418,8/16,047 = 26,1
σ rėžis
σ = √9,159 = 3,026 µm
Atsakymas
σ = 3,026 µm
σ 95 % intervalas: [3,026, 5,108] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −1,616
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 74,98 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 500 + 2,326·3 = 507
z esant tikrajam vidurkiui
z = (507 − 509)/3 = −0,674
Galia
galia = P(Z > −0,674) = 74,98%
1 − β = 74,98%
Atsakymas
1 − β = 74,98%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9785
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 343/6 = 57,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 170,8
Koreliacijos koeficientas
r = 53,5/√(17,5·170,8) = 0,9785
Atsakymas
r = 0,9785
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 5,848
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 404/6 = 67,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 206
Regresijos tiesė
b = 206/70 = 2,943
a = 67,33 − 2,943·8 = 43,79
ŷ = 43,79 + 2,943·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (61 − 43,79)/2,943 = 5,848
Atsakymas
x = 5,848
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.