Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €5 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 4% per metus. Reikalaujama grąža 6% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €5 000g = 4%r = 6%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 26 metus atidedate €100. Sąskaita moka 6 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1006% / 12N = 312
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€45 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €15 000, €22 000, €10 000, €16 000. Kapitalo kaina – 9 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €22 000, €16 000, €8 500. Projektas B kainuoja €45 000 ir grąžina po €11 500, €17 000, €24 000. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 13 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 200, kai pajamingumas iki išpirkimo 4%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 13P = €1 200YTM = 4%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 6 metų ir parduodama už €1 115. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 6P = €1 115
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €4 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 14%, skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €10,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €980. Skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 0,6, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 7,5%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 80?
μ = 70σ = 8x = 80
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 2 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 2
P =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,6. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 9p = 0,6
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 12 min ir standartinis nuokrypis 1,5 min; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 20 min ir standartinis nuokrypis 2 min. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 34,5 min. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 34,5 min
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
15 elementų imties vidurkis – 63, standartinis nuokrypis s = 7,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 500; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 15. Atsitiktinės 36 stebėjimų imties vidurkis 497,95. Tikrinkite H₀: μ = 500 prieš H₁: μ < 500. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 500σ = 15n = 36x̄ = 497,95H₁: μ < μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 90 % galia. Standartinis nuokrypis 20. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5,5, 76). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(5,5, 76)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 250000 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 15 000/1,09 = 13 761,47
CF2/(1 + 0,09)2 = 22 000/1,188 = 18 516,96
CF3/(1 + 0,09)3 = 10 000/1,295 = 7 721,83
CF4/(1 + 0,09)4 = 16 000/1,412 = 11 334,80
Sudėkite
NPV = €6 335,07
Atsakymas
NPV = €6 335,07
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 2,8 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −45 000 − (−40 000) = −5 000
ΔCF1 = 11 500 − 22 000 = −10 500
ΔCF2 = 17 000 − 16 000 = 1 000
ΔCF3 = 24 000 − 8 500 = 15 500
Skirtumo IRR
NPVΔ(2%) = 273,05
NPVΔ(3%) = −66,88
r* = 2,8%
Atsakymas
r* = 2,8%
Patikra: esant 2,8%, abi NPV lygios €4 365,45.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 6,003 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,04)−13 = €600,57
Kuponas
C = (1200 − 600,57)/9,986 = €60,03
Kupono norma
c = 60,03/1000 = 6,003%
Atsakymas
c = 6,003%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 1,015 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 115 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Skaitinis sprendimas
P(1%) = €1 115,91, P(2%) = €1 056,01
YTM = 1,015%
Atsakymas
YTM = 1,015%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,856 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556
WACC
WACC = 0,4444·14% + 0,5556·6%·(1 − 0,21) = 8,856%
Atsakymas
WACC = 8,856%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,532 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 2 000 000·€10,50 = €21 000 000
D = 10 000·€980 = €9 800 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2,5% + 0,6·5% = 5,5%
Svoriai
V = €30 800 000, E/V = 0,6818, D/V = 0,3182
WACC
WACC = 0,6818·5,5% + 0,3182·7%·(1 − 0,2) = 5,532%
Atsakymas
WACC = 5,532%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 10,63
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 1 − 0,8944 = 0,1056
Atsakymas
P = 0,1056
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,3056
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)2 = 0,6944
P = 1 − 0,6944 = 0,3056
Atsakymas
P = 0,3056
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,003801
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,49 = 0,0002621
P(X = 1) = 9·0,6·0,48 = 0,003539
Sudėkite
P = 0,0002621 + 0,003539 = 0,003801
Atsakymas
P = 0,003801
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1587
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standartizuokite
z = (34,5 − 32)/2,5 = 1
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,7881
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s
Standartizuokite
z = (0 − 4)/5 = −0,8
Tikimybė
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Atsakymas
P = 0,7881
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 3,41
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Paklaidos riba
E = 1,761·7,5/√15 = 3,41
Atsakymas
E = 3,41
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 3,173 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (13·10² + 16·3²)/29 = 49,79
sp = 7,056
Paklaidos riba
E = 1,699·7,056·√(1/14 + 1/17) = 4,327
Intervalas
7,5 ± 4,327 → [3,173, 11,83]
Atsakymas
apatinis rėžis = 3,173 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,2061
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 15/√36 = 2,5
z = (497,95 − 500)/2,5 = −0,82
Uodegos plotas
Φ(0,82) = 0,7939
1 − Φ(0,82) = 0,2061
p reikšmė
p = 0,2061
Atsakymas
p = 0,2061
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 326
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 1,282)·20/4)² = 325,4
Apvalinkite aukštyn
n = 326
Atsakymas
n = 326
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9848
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 2172 − 30·342/5 = 120
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 23764 − 342²/5 = 371,2
Koreliacijos koeficientas
r = 120/√(40·371,2) = 0,9848
Atsakymas
r = 0,9848
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 4,2
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 346/5 = 69,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 52
Regresijos tiesė
b = 52/10 = 5,2
a = 69,2 − 5,2·5 = 43,2
ŷ = 43,2 + 5,2·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 43,2 + 5,2·5,5 = 71,8
Liekana
e = 76 − 71,8 = 4,2
Atsakymas
e = 4,2
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.