Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 20% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.
r = 20%m = 12
EAR = %
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€15 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metų, esant 6% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?
P = €15 0006% / 12N = 36
I = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€45 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €11 000, €18 000, €17 000. Kapitalo kaina – 15 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas šiandien kainuoja €100 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €13 500 ir auga 4 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 9-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €100 000CF1 = €13 500g = 4%n = 9r = 12%
NPV = €
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 3% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 8 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 7% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 3%YTM = 7%n = 8
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 5%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €1 075. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 9P = €1 075
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €10 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €10 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 14%. Jos skolą sudaro 8 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%, iki išpirkimo 4 metų), kurių kiekviena parduodama už €949. Mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 25. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 462,5?
μ = 500σ = 25x = 462,5
P =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 5 raudoni ir 9 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
5 / 9
P =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €1. Laimite €3 su tikimybe 0,25 ir €50 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €1€3: p = 0,25€50: p = 0,02
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 92,5 ir 112,75 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 100σ = 15x1 = 92,5x2 = 112,75
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 95 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 100 tšk.σ = 15 tšk.95%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 100 telefonų, vidurkis 104 h, žinomas standartinis nuokrypis 7 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 119 h, žinomas standartinis nuokrypis 19 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 36. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 3?
σ = 36E = 395%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 12 studentų, vidutinis rezultatas 41,5, standartinis nuokrypis 9,5. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 46,7, standartinis nuokrypis 10,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1? Standartinis nuokrypis – 15. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 15E = 199%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 58?
n = 6ŷ = 58
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: EAR = 21,94 %
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laikotarpio norma
r/m = 0,2/12 = 0,01667
Kapitalizuokite per vienus metus
EAR = (1 + 0,01667)12 − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%
Atsakymas
EAR = 21,94%
Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: I = 1428 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,005, N = 36
A = 15 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)−36) = €456,33
Iš viso palūkanų
I = N·A − P = 36·456,3 − 15 000 = €1 427,85
Atsakymas
I = €1 427,85
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −10646 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 11 000/1,15 = 9 565,22
CF2/(1 + 0,15)2 = 18 000/1,322 = 13 610,59
CF3/(1 + 0,15)3 = 17 000/1,521 = 11 177,78
Sudėkite
NPV = €−10 646,42
Atsakymas
NPV = €−10 646,42
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −17863 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 758,1 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €15,00, i = 0,035, N = 16
Kuponų dabartinė vertė
€15,00·(1 − 0,5767)/0,035 = €181,41
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,5767 = €576,71
Kaina
P = €758,12
Atsakymas
P = €758,12
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 3,992 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 075 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(3%) = €1 155,72, P(4%) = €1 074,35
YTM = 3,992%
Atsakymas
YTM = 3,992%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,474 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·12% + 0,2857·4%·(1 − 0,21) = 9,474%
Atsakymas
WACC = 9,474%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,04 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Atsakymas
P = 0,9332
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1099
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0,1099
Atsakymas
P = 0,1099
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 0,75 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 2 (p = 0,25), 49 (p = 0,02), −1 (p = 0,73)
Laukiamoji vertė
E(G) = 2·0,25 + 49·0,02 − 1·0,73 = 0,75 €
Atsakymas
E(G) = 0,75 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,4938
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5
z₂ = (112,75 − 100)/15 = 0,85
Plotas tarp
P = Φ(0,85) − Φ(−0,5) = 0,8023 − 0,3085 = 0,4938
Atsakymas
P = 0,4938
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 75,4 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,05
z iš lentelės
z ≈ −1,64
Atgal į pradinius vienetus
x = 100 − 1,64·15 = 75,4 tšk.
Atsakymas
x = 75,4 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −20,44 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 104 − 119 = −15
Standartinė paklaida
SE = √(7²/100 + 19²/50) = 2,777
Paklaidos riba
E = 1,96·2,777 = 5,442
Intervalas
−15 ± 5,442 → [−20,44, −9,558]
Atsakymas
apatinis rėžis = −20,44 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 554
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·36/3)² = 553,2
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 554
Atsakymas
n = 554
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −0,9992
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (11·9,5² + 4·10,5²)/15 = 95,58
sp = 9,777
Standartinė paklaida
SE = 9,777·√(1/12 + 1/5) = 5,204
Testo statistika
t = (41,5 − 46,7)/5,204 = −0,9992
Atsakymas
t = −0,9992
Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 1494
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (2,576·15/1)² = 1493
Apvalinkite aukštyn
n = 1494
Atsakymas
n = 1494
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9746
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 59/5 = 11,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Syy = Σ(y − ȳ)² = 74,8
Determinacijos koeficientas
r² = 54²/(40·74,8) = 0,9746
Atsakymas
r² = 0,9746
Apie 97,46% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 4,354
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 370/6 = 61,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Regresijos tiesė
b = 56/17,5 = 3,2
a = 61,67 − 3,2·5,5 = 44,07
ŷ = 44,07 + 3,2·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (58 − 44,07)/3,2 = 4,354
Atsakymas
x = 4,354
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.