Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €20 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 3% per metus. Reikalaujama grąža 6% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €20 000g = 3%r = 6%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€20 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 5 metus. Palūkanų norma – 5,4 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €20 0005,4% / 12N = 60
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €30 000, tarnauja 9 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €1 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 10%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €30 000M = €1 000n = 9r = 10%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €21 000, €24 000, €34 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 21 000CF2 = 24 000CF3 = 34 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 3,5% iki 1,5%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 7%n = 4y1 = 3,5%y2 = 1,5%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 9%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 4YTM = 9%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Akcijos, kurios beta 1,25, reikalaujama grąža 12,25%. Nerizikinga norma 3,5%. Kokią laukiamą rinkos grąžą rm implikuoja CAPM?
β = 1,25re = 12,25%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 1 000 000 akcijų, kurių kaina €11,00; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €6 600 000. Ji ką tik išmokėjo €0,80 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 2% per metus. Jos skolos rinkos vertė €6 600 000, o kaina prieš mokesčius 4,5%. Mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 85?
μ = 100σ = 15x = 85
P =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 6 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 6
P =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 11 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 11p = 0,2
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0113. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0113
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 studentų imties vidutinis rezultatas – 56,38, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 56,38s = 15n = 16
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
25 matavimų imties vidurkis – 197,3. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 197,3σ = 5n = 2590%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (9, 19). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(9, 19)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 666667 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045
N = 12·5 = 60
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,7638
A = 20 000·0,0045/(1 − 0,7638) = €381,10
Atsakymas
A = €381,10
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 6209 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,1−9)/0,1 = 5,759
Metinė pirkimo kainos dalis
30 000/5,759 = 5 209,22
EAC
EAC = 5 209,22 + 1 000 = €6 209,22
Atsakymas
EAC = €6 209,22
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 24,78 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 4 131,94
NPV(25%) = −176,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 60/1,09 = 55,05, t·PV = 55,05
t = 2: 60/1,188 = 50,50, t·PV = 101,00
t = 3: 60/1,295 = 46,33, t·PV = 138,99
t = 4: 1060/1,412 = 750,93, t·PV = 3 003,72
Trukmė
P = 902,81
D = 3 298,76/902,81 = 3,654
Atsakymas
D = 3,654 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: rm = 10,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos rizikos premija
rm − rf = (12,25% − 3,5%)/1,25 = 7%
Rinkos grąža
rm = 3,5% + 7% = 10,5%
Atsakymas
rm = 10,5%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,138 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1) = 0,1587
P = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,6651
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Atsakymas
P = 0,6651
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,3221
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,811 = 0,0859
P(X = 1) = 11·0,2·0,810 = 0,2362
Sudėkite
P = 0,0859 + 0,2362 = 0,3221
Atsakymas
P = 0,3221
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 2,28
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0113 = 0,9887
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9887 ir nuskaitykite z.
z = 2,28
Atsakymas
z = 2,28
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 254,2 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Atgal į x
x = 250 + 0,8416·5 = 254,21 g
Atsakymas
x = 254,21 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 78,49
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 9, t = 1,833
Paklaidos riba
E = 1,833·19/√10 = 11,01
Intervalas
89,5 ± 11,01 → [78,49, 100,5]
Atsakymas
apatinis rėžis = 78,49
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 15,77 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (11·5² + 4·1²)/15 = 18,6
sp = 4,313
Paklaidos riba
E = 2,947·4,313·√(1/12 + 1/5) = 6,765
Intervalas
9 ± 6,765 → [2,235, 15,77]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 15,77 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,701
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 195,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 1,645·5/√25 = 1,645
Intervalo rėžis
L = 197,3 − 1,645 = 195,7
Atsakymas
L = 195,7
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9958
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 6714 − 110·291/5 = 312
Sxx = 2510 − 110²/5 = 90
Syy = 18027 − 291²/5 = 1091
Koreliacijos koeficientas
r = 312/√(90·1091) = 0,9958
Atsakymas
r = 0,9958
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 1,9
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 57/5 = 11,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 76
Regresijos tiesė
b = 76/40 = 1,9
a = 11,4 − 1,9·6 = 0
ŷ = 0 + 1,9·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 0 + 1,9·9 = 17,1
Liekana
e = 19 − 17,1 = 1,9
Atsakymas
e = 1,9
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.