CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 21% per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.

r = 21%m = 4

EAR = %

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€150 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 20 metų, esant 2,4% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?

P = €150 0002,4% / 12N = 240

I = €

3.NPV ir IRRVidutinis

€60 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €25 000, €19 000, €15 000, €20 000. Kapitalo kaina – 9 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 25 000CF₂ = 19 000CF₃ = 15 000CF₄ = 20 000

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €50 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €35 500, €21 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −50 000CF₁ = 35 500CF₂ = 21 000

IRR = %

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 7% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 10 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 7%YTM = 3,5%n = 10

P = €

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 3% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 6 metų. Ji parduodama už €726. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.

F = €1 000kuponas = 3% (2×)n = 6P = €726

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonė turi €12 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €3 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 9%, skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.

E = €12 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €40,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €980. Skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 0,6, nerizikinga palūkanų norma – 2%, rinkos grąža – 9%. Raskite WACC.

β = 0,6r_f = 2%r_m = 9%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 48, 37, 41, 35, 60, 24.

n = 6

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 74?

μ = 70σ = 10x = 74

P =

11.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 4 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 4

P =

12.TikimybėSunkus

Tikrinami 6 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?

n = 6p = 0,2

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 60 s ir standartinis nuokrypis 5 s; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 45 s ir standartinis nuokrypis 4 s. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 98,6 s. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 98,6 s

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,04 mm ir standartinis nuokrypis 0,02 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

skylė: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 60 telefonų, vidurkis 52 h, žinomas standartinis nuokrypis 16 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 43 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 60x̄₁ = 52 hσ₁ = 16 hn₂ = 30x̄₂ = 43 hσ₂ = 4 h99%

apatinis rėžis = h

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 7 sklypų, vidutinis derlius 57,5 kg, standartinis nuokrypis 4,5 kg. 2 sklypų grupė: 7 sklypų, vidurkis 56,5 kg, standartinis nuokrypis 4 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n₁ = 7x̄₁ = 57,5s₁ = 4,5n₂ = 7x̄₂ = 56,5s₂ = 495%t(12) = 2,179

E = kg

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

25 studentų imties vidutinis rezultatas – 90,7, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 90,7s = 15n = 25

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Klinikiniame tyrime pasveiksta 75 iš 300 pacientų, gydytų A būdu, ir 20 iš 100 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 75n₁ = 300x₂ = 20n₂ = 100

z =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6

r =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 54?

n = 6ŷ = 54

x =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: EAR = 22,71 %

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Laikotarpio norma

r/m = 0,21/4 = 0,0525

Kapitalizuokite per vienus metus

EAR = (1 + 0,0525)⁴ − 1 = 1,227 − 1 = 22,71%

Atsakymas

EAR = 22,71%

Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: I = 39016 €

Mėnesinė įmoka

i = 0,002, N = 240

A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻²⁴⁰) = €787,57

Iš viso palūkanų

I = N·A − P = 240·787,6 − 150 000 = €39 016,11

Atsakymas

I = €39 016,11

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = 4679 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 25 000/1,09 = 22 935,78

CF₂/(1 + 0,09)² = 19 000/1,188 = 15 991,92

CF₃/(1 + 0,09)³ = 15 000/1,295 = 11 582,75

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 20 000/1,412 = 14 168,50

Sudėkite

NPV = €4 678,96

Atsakymas

NPV = €4 678,96

NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 9,394 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(5%) = 2 857,14

NPV(10%) = −371,90

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 5 + 5·2 857,14/(2 857,14 − (−371,90)) = 9,424%

tiksliai: NPV(9,394%) = 0 → IRR = 9,394%

Atsakymas

IRR = 9,394%

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: P = 1293 €

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €35,00, i = 0,0175, N = 20

Kuponų dabartinė vertė

€35,00·(1 − 0,7068)/0,0175 = €586,35

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,7068 = €706,82

Kaina

P = €1 293,18

Atsakymas

P = €1 293,18

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 9,012 %

Vienam laikotarpiui

C = €15,00, N = 12

Skaitinis sprendimas

i = 4,506% per pusmetį

YTM

YTM = 2·4,506% = 9,012%

Atsakymas

YTM = 9,012%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 7,942 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2

WACC

WACC = 0,8·9% + 0,2·5%·(1 − 0,258) = 7,942%

Atsakymas

WACC = 7,942%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,027 %

Rinkos vertės

E = 5 000 000·€40,50 = €202 500 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 2% + 0,6·7% = 6,2%

Svoriai

V = €212 300 000, E/V = 0,9538, D/V = 0,04616

WACC

WACC = 0,9538·6,2% + 0,04616·3,5%·(1 − 0,3) = 6,027%

Atsakymas

WACC = 6,027%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 12,25

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 245/6 = 40,83

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 7,167² + (−3,833)² + 0,1667² + (−5,833)² + 19,17² + (−16,83)² = 750,8

Standartinis nuokrypis

s = √(750,8/5) = 12,25

Atsakymas

s = 12,25

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,6554

Standartizuokite

z = 0,4

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

11.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,5177

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Atsakymas

P = 0,5177

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,6554

Nulis ir vienas gedimas

P(X = 0) = 0,8⁶ = 0,2621

P(X = 1) = 6·0,2·0,8⁵ = 0,3932

Sudėkite

P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554

Atsakymas

P = 0,6554

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartizuokite

z = (98,6 − 105)/6,403 = −1

Viršutinė uodega

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9633

Skirtumo skirstinys

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02236 mm

Standartizuokite

z = (0 − 0,04)/0,02236 = −1,79

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,79) = 0,9633

Atsakymas

P = 0,9633

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = 3,356 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 52 − 43 = 9

Standartinė paklaida

SE = √(16²/60 + 4²/30) = 2,191

Paklaidos riba

E = 2,576·2,191 = 5,644

Intervalas

9 ± 5,644 → [3,356, 14,64]

Atsakymas

apatinis rėžis = 3,356 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 4,959 kg

Jungtinis standartinis nuokrypis

s_p² = (6·4,5² + 6·4²)/12 = 18,13

s_p = 4,257

Paklaidos riba

E = 2,179·4,257·√(1/7 + 1/7) = 4,959

Atsakymas

E = 4,959 kg

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −3,1

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Testo statistika

t = (90,7 − 100)/3 = −3,1

Atsakymas

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: z = 1,018

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Imčių dalys

p̂₁ = 75/300 = 0,25

p̂₂ = 20/100 = 0,2

p̂ = 95/400 = 0,2375

Standartinė paklaida pagal H₀

SE = √(0,2375·0,7625·(1/300 + 1/100)) = 0,04914

Testo statistika

z = (0,25 − 0,2)/0,04914 = 1,018

Atsakymas

z = 1,018

|z| < 1.96, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9828

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 409/6 = 68,17

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 976,8

Koreliacijos koeficientas

r = 128,5/√(17,5·976,8) = 0,9828

Atsakymas

r = 0,9828

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 17,46

Vidurkiai

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 441/6 = 73,5

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 508,5

Regresijos tiesė

b = 508,5/157,5 = 3,229

a = 73,5 − 3,229·23,5 = −2,371

ŷ = −2,371 + 3,229·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (54 − (−2,371))/3,229 = 17,46

Atsakymas

x = 17,46

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income