Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €5 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 1% per metus. Reikalaujama grąža 7% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €5 000g = 1%r = 7%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 14 metus atidedate €250. Sąskaita moka 4,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2504,2% / 12N = 168
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €500 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €60 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 1% per metus. Kapitalo kaina 11%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €500 000CF1 = €60 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
€50 000 investicija kiekvienų metų pabaigoje 8 metų grąžina €7 000. Raskite jos vidinę grąžos normą IRR procentais.
C0 = €50 000CF = €7 000n = 8
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 5 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 8%YTM = 3%n = 5
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 17 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 9%), parduodama už €1 091. Emitentas gali ją išpirkti po 6 metų už €1 090 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 9%P = €1 091išpirkimo kaina = €1 090išpirkimas po 6 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė finansuojama €8 000 000 vertės paprastosiomis akcijomis, €1 500 000 vertės privilegijuotosiomis akcijomis ir €4 000 000 vertės skola. Nuosavo kapitalo kaina 11%, privilegijuotųjų akcijų kaina 8%, skolos kaina prieš mokesčius 5%. Mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,7. Ji planuoja 0,75 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 21%, nerizikinga norma 3%, o rinkos rizikos premija 6%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 70, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 78 z įvertį z.
μ = 70σ = 20x = 78
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €3. Laimite €9 su tikimybe 0,1 ir €30 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €3€9: p = 0,1€30: p = 0,02
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,3483. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,3483
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 95 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
7 darbuotojų rašymo klaviatūra testą atlieka prieš mokymo kursus ir po jų. Kiekvienam asmeniui užrašomas skirtumas d = po − prieš (žodžiai per minutę). Vidutinis skirtumas −6,11, o skirtumų standartinis nuokrypis 7,7. Raskite porinio testo statistiką t hipotezei H₀: μd = 0.
n = 7d̄ = −6,11sd = 7,7
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 12. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 63). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 63)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 83333 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 60 000/(0,11 − 0,01) = 600 000,00
NPV
NPV = 600 000,00 − 500 000 = €100 000,00
Atsakymas
NPV = €100 000,00
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 2,589 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Reikiamas anuiteto koeficientas
(1 − (1 + i)−8)/i = 50 000/7 000 = 7,143
Raskite normą
Didėjant normai, anuiteto koeficientas mažėja; apribokite normą iš abiejų pusių ir siaurinkite intervalą.
i = 2%: 7,325
i = 3%: 7,02
IRR = 2,589%
Atsakymas
IRR = 2,589%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1231 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €40,00, i = 0,015, N = 10
Kuponų dabartinė vertė
€40,00·(1 − 0,8617)/0,015 = €368,89
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,8617 = €861,67
Kaina
P = €1 230,55
Atsakymas
P = €1 230,55
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTC = 8,237 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1091 = 90·(1 − (1 + y)−6)/y + 1090/(1 + y)6
Skaitinis sprendimas
y = 8%: €1 102,94
y = 9%: €1 053,66
YTC = 8,237%
Atsakymas
YTC = 8,237%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 8,002%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,593 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 0,7·(1 + 0,79·0,75) = 1,115
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 3% + 1,115·6% = 9,688%
Atsakymas
re = 9,688%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,69
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (78 − 70)/20 = 0,4
Atsakymas
z = 0,4
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,7
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Dispersija
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Atsakymas
Var(X) = 0,7
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = −1,5 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 6 (p = 0,1), 27 (p = 0,02), −3 (p = 0,88)
Laukiamoji vertė
E(G) = 6·0,1 + 27·0,02 − 3·0,88 = −1,5 €
Atsakymas
E(G) = −1,5 €
Neigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai prarandate pinigus.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,39
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,3483 = 0,6517
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,6517 ir nuskaitykite z.
z = 0,39
Atsakymas
z = 0,39
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 241,8 g
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,05
z iš lentelės
z ≈ −1,64
Atgal į pradinius vienetus
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
Atsakymas
x = 241,8 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = 10,11
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 7, t = 2,365
Paklaidos riba
E = 2,365·19/√8 = 15,89
Intervalas
26 ± 15,89 → [10,11, 41,89]
Atsakymas
apatinis rėžis = 10,11
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = −6,853 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (7·6² + 13·2,5²)/20 = 16,66
sp = 4,082
Paklaidos riba
E = 2,845·4,082·√(1/8 + 1/14) = 5,147
Intervalas
−12 ± 5,147 → [−17,15, −6,853]
Atsakymas
viršutinis rėžis = −6,853 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,099
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Vidutinio skirtumo standartinė paklaida
SE = 7,7/√7 = 2,91
Testo statistika
t = −6,11/2,91 = −2,099
Atsakymas
t = −2,099
Kai df = 6, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,447; |t| mažesnis, todėl H₀ neatmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 56
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 0,842)·12/4)² = 55,67
Apvalinkite aukštyn
n = 56
Atsakymas
n = 56
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9469
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 277/5 = 55,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56
Syy = Σ(y − ȳ)² = 331,2
Determinacijos koeficientas
r² = 56²/(10·331,2) = 0,9469
Atsakymas
r² = 0,9469
Apie 94,69% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = 4,3
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 328/5 = 65,6
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 46
Regresijos tiesė
b = 46/10 = 4,6
a = 65,6 − 4,6·5 = 42,6
ŷ = 42,6 + 4,6·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 42,6 + 4,6·3,5 = 58,7
Liekana
e = 63 − 58,7 = 4,3
Atsakymas
e = 4,3
Taškas yra virš tiesės.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.