CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €20 000 esant 5 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 10 metų.

PV = €20 0005% / 12n = 10

FV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€25 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 7 metų, esant 3,6% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?

P = €25 0003,6% / 12N = 84

I = €

3.NPV ir IRRVidutinis

€60 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €20 000, €16 000, €14 000. Kapitalo kaina – 9 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 20 000CF₂ = 16 000CF₃ = 14 000

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €200 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €24 000 ir auga 2 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 10-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €24 000g = 2%n = 10r = 12%

NPV = €

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 9 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3% per metus. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 8%YTM = 3%n = 9

P = €

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 5%, išperkama po 8 metų ir parduodama už €855. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.

F = €1 000kuponas = 5%n = 8P = €855

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonės nuosavas kapitalas vertas €3 000 000, o skola – €2 000 000. Jos WACC 6,29%, skolos kaina prieš mokesčius 3%, o mokesčio tarifas 25,8%. Raskite nuosavo kapitalo kainą r_e.

E = €3 000 000D = €2 000 000WACC = 6,29%r_d = 3%T = 25,8%

r_e = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 4 000 000 akcijų, kurių kaina €34,50; jos nuosavo kapitalo balansinė vertė €69 000 000. Ji ką tik išmokėjo €1,20 dividendą vienai akcijai, o dividendai auga 5% per metus. Jos skolos rinkos vertė €110 400 000, o kaina prieš mokesčius 6%. Mokesčio tarifas 30%. Raskite WACC, nuosavo kapitalo kainai naudodami dividendų augimo modelį.

N = 4 000 000P₀ = €34,50balansinis nuosavas kapitalas = €69 000 000D₀ = €1,20g = 5%D = €110 400 000r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 42, 31, 57, 31, 15.

n = 5

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 20. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 34?

μ = 50σ = 20x = 34

P =

11.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 6 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 6

P =

12.TikimybėSunkus

Teste yra 7 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,7, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 5?

n = 7p = 0,7k = 5

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

keleiviai su bagažu masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 85 kg, standartinis nuokrypis 12 kg. Raskite tikimybę P, kad 16 iš jų bendra masė viršija 1432 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1432 kg

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Vyrų ūgis X ir moterų ūgis Y grupėje yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 180 cm ir standartinis nuokrypis 10 cm, Y vidurkis 170 cm ir standartinis nuokrypis 12 cm. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

30 elementų imties vidurkis – 34,5, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 30x̄ = 34,5s = 13,595%t(29) = 2,045

E =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

11 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 6,3 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (apatinis rėžis) σ. Kai df = 10, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 3,247, o 2,5 % – aukščiau 20,483.

n = 11s = 6,3 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

81 studentų imties vidutinis rezultatas – 96,89, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 96,89s = 20n = 81

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

25 matavimų imties vidurkis – 197,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 15. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 197,6σ = 15n = 2590%

L =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (6, 61). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(6, 61)

e =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 32940 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = r/m = 0,05/12 = 0,004167

N = m·n = 12·10 = 120

Būsimoji vertė

FV = 20 000·(1 + 0,004167)¹²⁰ = 20 000·1,647 = €32 940,19

Atsakymas

FV = €32 940,19

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: I = 3319 €

Mėnesinė įmoka

i = 0,003, N = 84

A = 25 000·0,003/(1 − (1 + 0,003)⁻⁸⁴) = €337,14

Iš viso palūkanų

I = N·A − P = 84·337,1 − 25 000 = €3 319,44

Atsakymas

I = €3 319,44

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −17374 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 20 000/1,09 = 18 348,62

CF₂/(1 + 0,09)² = 16 000/1,188 = 13 466,88

CF₃/(1 + 0,09)³ = 14 000/1,295 = 10 810,57

Sudėkite

NPV = €−17 373,93

Atsakymas

NPV = €−17 373,93

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −54196 €

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,02)/(1,12))¹⁰ = 0,3925

PV = 24 000/(0,12 − 0,02)·(1 − 0,3925) = 145 803,94

NPV

NPV = 145 803,94 − 200 000 = −€54 196,06

Atsakymas

NPV = −€54 196,06

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: P = 1392 €

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €40,00, i = 0,015, N = 18

Kuponų dabartinė vertė

€40,00·(1 − 0,7649)/0,015 = €626,90

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,7649 = €764,91

Kaina

P = €1 391,81

Atsakymas

P = €1 391,81

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 7,473 %

Pajamingumo lygtis

€855 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Skaitinis sprendimas

P(7%) = €880,57, P(8%) = €827,60

YTM = 7,473%

Atsakymas

YTM = 7,473%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: r_e = 8,999 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC skolos dalis

0,4·3%·(1 − 0,258) = 0,8904%

Nuosavo kapitalo kaina

r_e = (6,29% − 0,8904%)/0,6 = 8,999%

Atsakymas

r_e = 8,999%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,673 %

Nuosavo kapitalo kaina

D₁ = 1,2·1,05 = €1,26

r_e = 1,26/34,5 + 0,05 = 8,652%

Rinkos vertės

E = 4 000 000·€34,50 = €138 000 000

V = €248 400 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·8,652% + 0,4444·6%·(1 − 0,3) = 6,673%

Atsakymas

WACC = 6,673%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 15,53

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 176/5 = 35,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 6,8² + (−4,2)² + 21,8² + (−4,2)² + (−20,2)² = 964,8

Standartinis nuokrypis

s = √(964,8/4) = 15,53

Atsakymas

s = 15,53

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2119

Standartizuokite

z = −0,8

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Atsakymas

P = 0,2119

11.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,6651

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Atsakymas

P = 0,6651

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,3177

Binominė formulė

P(X = 5) = 21·0,7⁵·0,3² = 21·0,1681·0,09 = 0,3177

Atsakymas

P = 0,3177

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,06681

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 1360 kg, σ_T = 12·√16 = 48 kg

Standartizuokite

z = (1432 − 1360)/48 = 1,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(1,5) = 0,06681

Atsakymas

P = 0,06681

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7389

Skirtumo skirstinys

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartizuokite

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Atsakymas

P = 0,7389

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 5,04

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Paklaidos riba

E = 2,045·13,5/√30 = 5,04

Atsakymas

E = 5,04

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: σ = 4,402 µm

Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.

Kvadratų suma

(n − 1)s² = 10·6,3² = 396,9

σ² rėžiai

396,9/20,483 = 19,38

396,9/3,247 = 122,2

σ rėžis

σ = √19,38 = 4,402 µm

Atsakymas

σ = 4,402 µm

σ 95 % intervalas: [4,402, 11,06] µm.

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −1,399

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Testo statistika

t = (96,89 − 100)/2,222 = −1,399

Atsakymas

t = −1,399

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 192,7

Paklaidos riba

E = 1,645·15/√25 = 4,935

Intervalo rėžis

L = 197,6 − 4,935 = 192,7

Atsakymas

L = 192,7

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,869

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 112/6 = 18,67

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −32

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 67,33

Determinacijos koeficientas

r² = −32²/(17,5·67,33) = 0,869

Atsakymas

r² = 0,869

Apie 86,9% y kitimo paaiškinama tiese.

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 4

Vidurkiai

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 342/6 = 57

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 202

Regresijos tiesė

b = 202/70 = 2,886

a = 57 − 2,886·6 = 39,69

ŷ = 39,69 + 2,886·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 39,69 + 2,886·6 = 57

Liekana

e = 61 − 57 = 4

Atsakymas

e = 4

Taškas yra virš tiesės.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income