CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Anuitetas 11 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €3 000. Palūkanų norma 6% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.

A = €3 000i = 6%n = 11

PV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

€250 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 30 metus. Palūkanų norma – 3 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.

P = €250 0003% / 12N = 360

A = €

3.NPV ir IRRVidutinis

Mašina šiandien kainuoja €30 000. Kiekvienų metų pabaigoje 5 metų ji generuoja €6 000, o po to gali būti parduota už €3 000. Kapitalo kaina 10%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €30 000CF = €6 000S = €3 000n = 5r = 10%

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €21 000, €20 000, €19 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 000CF₂ = 20 000CF₃ = 19 000

IRR = %

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 6 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 5,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 8%YTM = 5,5%n = 6

P = €

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 8 metų. Ji parduodama už €1 068. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.

F = €1 000kuponas = 5% (2×)n = 8P = €1 068

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonė turi €2 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 21%. Raskite WACC.

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 2 500 000 akcijų po €12,50 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 020. Skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 25,8%. Akcijos beta koeficientas – 1,1, nerizikinga palūkanų norma – 3%, rinkos grąža – 9,5%. Raskite WACC.

β = 1,1r_f = 3%r_m = 9,5%r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 42, 15, 42, 16, 43, 54.

n = 6

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 10. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 75?

μ = 60σ = 10x = 75

P =

11.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 3 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 3

P =

12.TikimybėSunkus

Teste yra 11 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,1, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 3?

n = 11p = 0,1k = 3

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 178 ir 188,85 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 188,85

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Gaminio masė X iš 1 linijos ir Y iš 2 linijos yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 8 g, Y vidurkis 490 g ir standartinis nuokrypis 6 g. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 105,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 19 h. 2 modelis: 80 telefonų, vidurkis 117 h, žinomas standartinis nuokrypis 8 h. Raskite μ₁ − μ₂ 90 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.

n₁ = 50x̄₁ = 105,5 hσ₁ = 19 hn₂ = 80x̄₂ = 117 hσ₂ = 8 h90%

apatinis rėžis = h

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,1. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?

p ≈ 0,1E = 0,0490%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

36 studentų imties vidutinis rezultatas – 121,4, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,4s = 5n = 36

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.

σ = 8E = 0,595%

n =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 6Σx = 120Σy = 380Σx² = 2470Σy² = 25414Σxy = 7902

r =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5, 14). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 6(5, 14)

e =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 23661 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Anuiteto koeficientas

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5268)/0,06 = 7,887

Dabartinė vertė

PV = 3 000·7,887 = €23 660,62

Atsakymas

PV = €23 660,62

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: A = 1054 €

Mėnesio norma ir įmokų skaičius

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·30 = 360

Įmoka

N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.

(1 + i)^−N = 0,407

A = 250 000·0,0025/(1 − 0,407) = €1 054,01

Atsakymas

A = €1 054,01

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −5393 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Metinių pinigų srautų dabartinė vertė

6 000·3,791 = 22 744,72

Likvidacinės vertės dabartinė vertė

3 000/1,611 = 1 862,76

NPV

NPV = −30 000 + 22 744,72 + 1 862,76 = −€5 392,52

Atsakymas

NPV = −€5 392,52

4.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 9,878 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(5%) = 4 553,50

NPV(10%) = −105,18

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 5 + 5·4 553,50/(4 553,50 − (−105,18)) = 9,887%

tiksliai: NPV(9,878%) = 0 → IRR = 9,878%

Atsakymas

IRR = 9,878%

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: P = 1126 €

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €40,00, i = 0,0275, N = 12

Kuponų dabartinė vertė

€40,00·(1 − 0,7221)/0,0275 = €404,17

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,7221 = €722,13

Kaina

P = €1 126,30

Atsakymas

P = €1 126,30

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 3,998 %

Vienam laikotarpiui

C = €25,00, N = 16

Skaitinis sprendimas

i = 1,999% per pusmetį

YTM

YTM = 2·1,999% = 3,998%

Atsakymas

YTM = 3,998%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,37 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·8% + 0,5·6%·(1 − 0,21) = 6,37%

Atsakymas

WACC = 6,37%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 9,038 %

Rinkos vertės

E = 2 500 000·€12,50 = €31 250 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 3% + 1,1·6,5% = 10,15%

Svoriai

V = €36 350 000, E/V = 0,8597, D/V = 0,1403

WACC

WACC = 0,8597·10,15% + 0,1403·3%·(1 − 0,258) = 9,038%

Atsakymas

WACC = 9,038%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 16,02

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 212/6 = 35,33

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 6,667² + (−20,33)² + 6,667² + (−19,33)² + 7,667² + 18,67² = 1283

Standartinis nuokrypis

s = √(1283/5) = 16,02

Atsakymas

s = 16,02

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,9332

Standartizuokite

z = 1,5

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

11.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,4213

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Atsakymas

P = 0,4213

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,07103

Binominė formulė

P(X = 3) = 165·0,1³·0,9⁸ = 165·0,001·0,4305 = 0,07103

Atsakymas

P = 0,07103

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,4394

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

z įverčiai

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (188,85 − 178)/7 = 1,55

Plotas tarp

P = Φ(1,55) − Φ(0) = 0,9394 − 0,5 = 0,4394

Atsakymas

P = 0,4394

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8413

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Skirtumo skirstinys

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartizuokite

z = (0 − 10)/10 = −1

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Atsakymas

P = 0,8413

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: apatinis rėžis = −16,16 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Taškinis įvertis

x̄₁ − x̄₂ = 105,5 − 117 = −11,5

Standartinė paklaida

SE = √(19²/50 + 8²/80) = 2,832

Paklaidos riba

E = 1,645·2,832 = 4,659

Intervalas

−11,5 ± 4,659 → [−16,16, −6,841]

Atsakymas

apatinis rėžis = −16,16 h

Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 153

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,645²·0,1·0,9/0,04² = 152,2

Apvalinkite aukštyn

n = 153

Atsakymas

n = 153

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,68

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

Testo statistika

t = (121,4 − 120)/0,8333 = 1,68

Atsakymas

t = 1,68

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 984

Išreikškite n

n = (1,96·8/0,5)² = 983,4

Apvalinkite aukštyn

n = 984

Atsakymas

n = 984

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,9834

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 7902 − 120·380/6 = 302

S_xx = 2470 − 120²/6 = 70

S_yy = 25414 − 380²/6 = 1347

Koreliacijos koeficientas

r = 302/√(70·1347) = 0,9834

Atsakymas

r = 0,9834

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = 5,267

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 74/6 = 12,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Regresijos tiesė

b = 126/70 = 1,8

a = 12,33 − 1,8·7 = −0,2667

ŷ = −0,2667 + 1,8·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = −0,2667 + 1,8·5 = 8,733

Liekana

e = 14 − 8,733 = 5,267

Atsakymas

e = 5,267

Taškas yra virš tiesės.

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income