CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Investuojate €1 000 esant 2 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 5 metų.

PV = €1 0002% / 4n = 5

FV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

Kiekvienų metų pradžioje 14 metų įnešate €2 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 7% per metus. Kiek bus sąskaitoje 14-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.

A = €2 000i = 7%n = 14

FV = €

3.NPV ir IRRVidutinis

€20 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €8 000, €7 000, €6 000. Kapitalo kaina – 5 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 7 000CF₃ = 6 000

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €16 000, €14 500, €13 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 14 500CF₃ = 13 000

IRR = %

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 12 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 4% per metus. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 4,5%YTM = 4%n = 12

P = €

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 5 metų. Ji parduodama už €849. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.

F = €1 000kuponas = 2% (2×)n = 5P = €849

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonė turi €4 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 9%, skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 30%. Raskite WACC.

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,7. Ji planuoja 0,6 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 21%, nerizikinga norma 3%, o rinkos rizikos premija 5,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą r_e esant naujai kapitalo struktūrai.

β_U = 0,7D/E = 0,6T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 5,5%

r_e = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 59, 35, 25, 54, 13.

n = 5

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 20. Raskite rezultato 68 z įvertį z.

μ = 60σ = 20x = 68

z =

11.TikimybėVidutinis

Simetriškas kauliukas metamas 3 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?

n = 3

P =

12.TikimybėSunkus

Teste yra 5 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,25, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 2?

n = 5p = 0,25k = 2

P =

13.Normalusis skirstinysVidutinis

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 16 iš jų bendra masė viršija 397 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 397 kg

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

6 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −9,9, o standartinis nuokrypis 4,8. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį.

n = 6d̄ = −9,9s_d = 4,899%t(5) = 4,032

viršutinis rėžis = mmHg

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Apie brokuotų gaminių dalį iš anksto nieko nežinoma. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,04?

p = 0,5E = 0,0499%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 7 studentų, vidutinis rezultatas 119, standartinis nuokrypis 10. 2 grupė: 5 studentų, vidutinis rezultatas 132,5, standartinis nuokrypis 9. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).

n₁ = 7x̄₁ = 119s₁ = 10n₂ = 5x̄₂ = 132,5s₂ = 9

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

100 matavimų imties vidurkis – 51,6. Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Raskite vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo viršutinį rėžį U.

x̄ = 51,6σ = 10n = 10090%

U =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.

n = 5Σx = 15Σy = 318Σx² = 55Σy² = 20448Σxy = 996

r =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 17). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 17)

e =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 1105 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Norma ir laikotarpių skaičius

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·5 = 20

Būsimoji vertė

FV = 1 000·(1 + 0,005)²⁰ = 1 000·1,105 = €1 104,90

Atsakymas

FV = €1 104,90

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: FV = 48258 €

Įprastojo anuiteto koeficientas

((1 + 0,07)¹⁴ − 1)/0,07 = 22,55

Išankstinis anuitetas

Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.

FV = 2 000·22,55·1,07 = €48 258,04

Atsakymas

FV = €48 258,04

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −848,7 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 8 000/1,05 = 7 619,05

CF₂/(1 + 0,05)² = 7 000/1,103 = 6 349,21

CF₃/(1 + 0,05)³ = 6 000/1,158 = 5 183,03

Sudėkite

NPV = €−848,72

Atsakymas

NPV = €−848,72

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: IRR = 35,28 %

Apribokite IRR iš abiejų pusių

Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.

NPV(35%) = 91,70

NPV(40%) = −1 435,86

Siaurinkite

Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.

IRR ≈ 35 + 5·91,70/(91,70 − (−1 435,86)) = 35,3%

tiksliai: NPV(35,28%) = 0 → IRR = 35,28%

Atsakymas

IRR = 35,28%

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: P = 1047 €

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €22,50, i = 0,02, N = 24

Kuponų dabartinė vertė

€22,50·(1 − 0,6217)/0,02 = €425,56

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,6217 = €621,72

Kaina

P = €1 047,28

Atsakymas

P = €1 047,28

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 5,495 %

Vienam laikotarpiui

C = €10,00, N = 10

Skaitinis sprendimas

i = 2,747% per pusmetį

YTM

YTM = 2·2,747% = 5,495%

Atsakymas

YTM = 5,495%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 6,95 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·9% + 0,5·7%·(1 − 0,3) = 6,95%

Atsakymas

WACC = 6,95%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: r_e = 8,675 %

Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), kur β_U – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.

Sverta beta

β_L = 0,7·(1 + 0,79·0,6) = 1,032

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 3% + 1,032·5,5% = 8,675%

Atsakymas

r_e = 8,675%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 19,34

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 186/5 = 37,2

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = 21,8² + (−2,2)² + (−12,2)² + 16,8² + (−24,2)² = 1497

Standartinis nuokrypis

s = √(1497/4) = 19,34

Atsakymas

s = 19,34

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: z = 0,4

Standartizuokite

z = (68 − 60)/20 = 0,4

Atsakymas

z = 0,4

11.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,4213

Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Priešingas įvykis

P(nėra šešeto) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Atsakymas

P = 0,4213

12.Tikimybė

Atsakymas: P = 0,2637

Binominė formulė

P(X = 2) = 10·0,25²·0,75³ = 10·0,0625·0,4219 = 0,2637

Atsakymas

P = 0,2637

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,9332

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

Standartizuokite

z = (397 − 400)/2 = −1,5

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

Atsakymas

P = 0,9332

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: x = 434,2 h

Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.

Procentilio z

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Atgal į x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Atsakymas

x = 434,2 h

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: viršutinis rėžis = −1,999 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritinė reikšmė

df = 5, t = 4,032

Paklaidos riba

E = 4,032·4,8/√6 = 7,901

Intervalas

−9,9 ± 7,901 → [−17,8, −1,999]

Atsakymas

viršutinis rėžis = −1,999 mmHg

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

Apvalinkite aukštyn

n = 1037

Atsakymas

n = 1037

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = −2,399

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Jungtinė dispersija

s_p² = (6·10² + 4·9²)/10 = 92,4

s_p = 9,612

Standartinė paklaida

SE = 9,612·√(1/7 + 1/5) = 5,628

Testo statistika

t = (119 − 132,5)/5,628 = −2,399

Atsakymas

t = −2,399

Kai df = 10, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,228; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: U = 53,25

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Paklaidos riba

E = 1,645·10/√100 = 1,645

Intervalo rėžis

U = 51,6 + 1,645 = 53,25

Atsakymas

U = 53,25

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r = 0,889

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Centruotos sumos

S_xy = 996 − 15·318/5 = 42

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 20448 − 318²/5 = 223,2

Koreliacijos koeficientas

r = 42/√(10·223,2) = 0,889

Atsakymas

r = 0,889

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: e = −1,9

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 103/5 = 20,6

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

Regresijos tiesė

b = −34/10 = −3,4

a = 20,6 − (−3,4)·3 = 30,8

ŷ = 30,8 − 3,4·x

Prognozuojama reikšmė

ŷ = 30,8 + (−3,4)·3,5 = 18,9

Liekana

e = 17 − 18,9 = −1,9

Atsakymas

e = −1,9

Taškas yra po tiese.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income