Po 5 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €50 0006% / 4n = 5
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€20 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 3 metus. Palūkanų norma – 3 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €20 0003% / 12N = 36
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €30 000 ir kiekvienų metų pabaigoje 5 metų grąžina €8 000. Kapitalo kaina 8 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €10 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €6 500, €7 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −10 000CF1 = 6 500CF2 = 7 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 7 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 7% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 2%YTM = 7%n = 7
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 8 metų ir parduodama už €1 075. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 8P = €1 075
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 1,5. Jos nuosavo kapitalo kaina 14%, skolos kaina prieš mokesčius 5%, o mokesčio tarifas 20%. Raskite WACC.
D/E = 1,5re = 14%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €19,50 ir 5 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,1, nerizikinga palūkanų norma – 1%, rinkos grąža – 7%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 54,8?
μ = 50σ = 8x = 54,8
P =
11.TikimybėVidutinis
Maišelyje yra 4 raudoni ir 7 mėlyni rutuliai. Ištraukiate du rutulius, pirmojo negrąžindami. Kokia tikimybė P, kad abu raudoni?
4 / 7
P =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 7 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,2. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 7p = 0,2
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,8324. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,8324
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 90 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm90%
x = cm
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
13 elementų imties vidurkis – 60,5, standartinis nuokrypis s = 16. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 13x̄ = 60,5s = 1699%t(12) = 3,055
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Bandomos dvi trąšos. 1 sklypų grupė: 5 sklypų, vidutinis derlius 27,5 kg, standartinis nuokrypis 4 kg. 2 sklypų grupė: 11 sklypų, vidurkis 33,5 kg, standartinis nuokrypis 5,5 kg. Laikykite, kad dispersijos lygios (jungtinis t, df = n₁ + n₂ − 2). Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
16 studentų imties vidutinis rezultatas – 502,1, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502,1s = 5n = 16
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 80 prieš H₁: μ < 80 atliekamas, kai α = 0.01, su 64 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 24. Iš tikrųjų vidurkis lygus 69.5. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 80μ = 69,5σ = 24n = 64α = 0,01
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 79?
n = 6ŷ = 79
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 37124 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·5 = 20
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,347 = €37 123,52
Atsakymas
PV = €37 123,52
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: A = 581,6 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·3 = 36
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,914
A = 20 000·0,0025/(1 − 0,914) = €581,62
Atsakymas
A = €581,62
3.NPV ir IRR
Atsakymas: DPB = 4,643 metai
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 8 000/1,08 = 7 407,41 → Σ = 7 407,41
metai 2: 8 000/1,166 = 6 858,71 → Σ = 14 266,12
metai 3: 8 000/1,26 = 6 350,66 → Σ = 20 616,78
metai 4: 8 000/1,36 = 5 880,24 → Σ = 26 497,01
metai 5: 8 000/1,469 = 5 444,67 → Σ = 31 941,68
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 4 + 3 502,99/5 444,67 = 4,643
Atsakymas
DPB = 4,643 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,75 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 22,26 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 277,78
NPV(25%) = −320,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 20 + 5·277,78/(277,78 − (−320,00)) = 22,32%
tiksliai: NPV(22,26%) = 0 → IRR = 22,26%
Atsakymas
IRR = 22,26%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 727 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €10,00, i = 0,035, N = 14
Kuponų dabartinė vertė
€10,00·(1 − 0,6178)/0,035 = €109,21
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,6178 = €617,78
Kaina
P = €726,99
Atsakymas
P = €726,99
Pajamingumas didesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su nuolaida.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 1,977 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 075 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Skaitinis sprendimas
P(1%) = €1 153,03, P(2%) = €1 073,25
YTM = 1,977%
Atsakymas
YTM = 1,977%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·14% + 0,6·5%·(1 − 0,2) = 8%
Atsakymas
WACC = 8%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,652 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,6
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Atsakymas
P = 0,2743
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1091
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 4/11 · 3/10 = 12/110 = 0,1091
Atsakymas
P = 0,1091
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,5767
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,87 = 0,2097
P(X = 1) = 7·0,2·0,86 = 0,367
Sudėkite
P = 0,2097 + 0,367 = 0,5767
Atsakymas
P = 0,5767
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,38
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,8324)/2 = 0,9162
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9162 ir nuskaitykite z.
z = 1,38
Atsakymas
z = 1,38
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 187 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,9
z iš lentelės
z ≈ 1,28
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 + 1,28·7 = 187 cm
Atsakymas
x = 187 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 13,56
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 12, t = 3,055
Paklaidos riba
E = 3,055·16/√13 = 13,56
Atsakymas
E = 13,56
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 8,215 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (4·4² + 10·5,5²)/14 = 26,18
sp = 5,116
Paklaidos riba
E = 2,977·5,116·√(1/5 + 1/11) = 8,215
Atsakymas
E = 8,215 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,68
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 87,98 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 24/√64 = 3
x̄c = 80 − 2,326·3 = 73,02
z esant tikrajam vidurkiui
z = (73,02 − 69,5)/3 = 1,174
Galia
galia = P(Z < 1.174) = 87.98%
1 − β = 87,98%
Atsakymas
1 − β = 87,98%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9866
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 2120 − 30·326/5 = 164
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 21946 − 326²/5 = 690,8
Koreliacijos koeficientas
r = 164/√(40·690,8) = 0,9866
Atsakymas
r = 0,9866
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 7,304
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 465/6 = 77,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 345
Regresijos tiesė
b = 345/70 = 4,929
a = 77,5 − 4,929·7 = 43
ŷ = 43 + 4,929·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (79 − 43)/4,929 = 7,304
Atsakymas
x = 7,304
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.