Tikimasi, kad nekilnojamasis turtas kitais metais uždirbs €5 000 grynųjų nuomos pajamų. Tikimasi, kad nuomos pajamos amžinai augs 4% per metus. Reikalaujama grąža 10% per metus. Raskite šiandieninę turto vertę PV.
C1 = €5 000g = 4%r = 10%
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€12 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 6 metus. Palūkanų norma – 4,8 % per metus, kapitalizuojama kas mėnesį. Raskite mėnesio įmoką A.
P = €12 0004,8% / 12N = 72
A = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €60 000 ir 1–5 metų pabaigoje grąžina po €22 500, €19 000, €17 000, €14 500, €12 000. Kapitalo kaina 10 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas A kainuoja €10 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €5 500, €4 000, €2 000. Projektas B kainuoja €12 000 ir grąžina po €3 000, €5 000, €6 000. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 12 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 7%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 6%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 12y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 5%, išperkama po 3 metų ir parduodama už €1 055. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 5%n = 3P = €1 055
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €4 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €4 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 10%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Įmonės verslo nesverta (turto) beta 0,6. Ji planuoja 0,25 skolos ir nuosavo kapitalo santykį. Mokesčio tarifas 21%, nerizikinga norma 4%, o rinkos rizikos premija 6,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re esant naujai kapitalo struktūrai.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 180?
μ = 170σ = 8x = 180
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,35, 0,2, 0,2
σ =
12.TikimybėSunkus
Žaidimo kaina yra €1. Laimite €5 su tikimybe 0,3 ir €20 su tikimybe 0,05; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.
statymas = €1€5: p = 0,3€20: p = 0,05
E(G) = €
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Kokia dalis reikšmių yra tarp 178 ir 181,5 cm? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 178σ = 7x1 = 178x2 = 181,5
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Skylių skersmenys D yra normalieji, jų vidurkis 25,03 mm ir standartinis nuokrypis 0,01 mm. Velenų skersmenys d yra nepriklausomi normalieji, jų vidurkis 25 mm ir standartinis nuokrypis 0,015 mm. Atsitiktinai pasirinktas velenas tinka, kai D − d > 0. Raskite tikimybę P, kad jis tinka. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
skylė: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmvelenas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
6 elementų imties vidurkis – 56,5, standartinis nuokrypis s = 13,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 6x̄ = 56,5s = 13,599%t(5) = 4,032
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 32. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2?
σ = 32E = 295%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 250; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 15. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 244,54. Tikrinkite H₀: μ = 250 prieš H₁: μ ≠ 250. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 250σ = 15n = 25x̄ = 244,54H₁: μ ≠ μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,05, turi aptikti 4 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 21. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = reklamos išlaidos k€ ir y = pardavimai k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 39?
n = 6ŷ = 39
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 83333 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesio norma ir įmokų skaičius
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·6 = 72
Įmoka
N lygių įmokų A dabartinė vertė yra A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Prilyginkite ją paskolai ir išreikškite A.
(1 + i)−N = 0,7502
A = 12 000·0,004/(1 − 0,7502) = €192,15
Atsakymas
A = €192,15
3.NPV ir IRR
Atsakymas: DPB = 4,157 metai
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 22 500/1,1 = 20 454,55 → Σ = 20 454,55
metai 2: 19 000/1,21 = 15 702,48 → Σ = 36 157,02
metai 3: 17 000/1,331 = 12 772,35 → Σ = 48 929,38
metai 4: 14 500/1,464 = 9 903,70 → Σ = 58 833,07
metai 5: 12 000/1,611 = 7 451,06 → Σ = 66 284,13
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 4 + 1 166,93/7 451,06 = 4,157
Atsakymas
DPB = 4,157 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,103 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 4,802 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −12 000 − (−10 000) = −2 000
ΔCF1 = 3 000 − 5 500 = −2 500
ΔCF2 = 5 000 − 4 000 = 1 000
ΔCF3 = 6 000 − 2 000 = 4 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(4%) = 76,70
NPVΔ(5%) = −18,57
r* = 4,802%
Atsakymas
r* = 4,802%
Patikra: esant 4,802%, abi NPV lygios €627,35.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 1,735 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 055 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Skaitinis sprendimas
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,054%
Atsakymas
YTM = 3,054%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,6 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·10% + 0,5·4%·(1 − 0,2) = 6,6%
Atsakymas
WACC = 6,6%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 8,67 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Sverta beta
βL = 0,6·(1 + 0,79·0,25) = 0,7185
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 4% + 0,7185·6,5% = 8,67%
Atsakymas
re = 8,67%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 16,15
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Atsakymas
P = 0,8944
11.Tikimybė
Atsakymas: σ = 1,062
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 1·0,25 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,2 = 2,35
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,2 = 6,65
Dispersija
Var(X) = 6,65 − 2,35² = 1,127
σ = √1,127 = 1,062
Atsakymas
σ = 1,062
12.Tikimybė
Atsakymas: E(G) = 1,5 €
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Grynosios baigtys
G: 4 (p = 0,3), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,65)
Laukiamoji vertė
E(G) = 4·0,3 + 19·0,05 − 1·0,65 = 1,5 €
Atsakymas
E(G) = 1,5 €
Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1915
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (178 − 178)/7 = 0
z₂ = (181,5 − 178)/7 = 0,5
Plotas tarp
P = Φ(0,5) − Φ(0) = 0,6915 − 0,5 = 0,1915
Atsakymas
P = 0,1915
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,9515
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Skirtumo skirstinys
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm
Standartizuokite
z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66
Tikimybė
P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515
Atsakymas
P = 0,9515
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 22,22
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 5, t = 4,032
Paklaidos riba
E = 4,032·13,5/√6 = 22,22
Atsakymas
E = 22,22
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 984
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·32/2)² = 983,4
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 984
Atsakymas
n = 984
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,06876
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 15/√25 = 3
z = (244,54 − 250)/3 = −1,82
Uodegos plotas
Φ(1,82) = 0,9656
1 − Φ(1,82) = 0,0344
p reikšmė
p = 2·0,0344 = 0,06876
Atsakymas
p = 0,06876
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 171
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((1,645 + 0,842)·21/4)² = 170,5
Apvalinkite aukštyn
n = 171
Atsakymas
n = 171
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9898
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 482/6 = 80,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 490
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3465
Determinacijos koeficientas
r² = 490²/(70·3465) = 0,9898
Atsakymas
r² = 0,9898
Apie 98,98% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 3,02
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 292/6 = 48,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170
Regresijos tiesė
b = 170/70 = 2,429
a = 48,67 − 2,429·7 = 31,67
ŷ = 31,67 + 2,429·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (39 − 31,67)/2,429 = 3,02
Atsakymas
x = 3,02
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.