Investuojate €3 000 esant 3 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Raskite investicijos vertę FV po 4 metų.
PV = €3 0003% / 12n = 4
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 14 metų įnešate €6 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 6% per metus. Kiek bus sąskaitoje 14-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €6 000i = 6%n = 14
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€20 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €6 000, €5 000, €7 000, €5 000. Kapitalo kaina – 10 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas A kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €21 000, €16 000, €9 500. Projektas B kainuoja €50 000 ir grąžina po €13 000, €20 000, €26 500. Raskite susikirtimo normą r*, kuriai esant abiejų projektų NPV vienoda, procentais.
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 9 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €728, kai pajamingumas iki išpirkimo 6%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 9P = €728YTM = 6%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 2% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 5%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 4YTM = 5%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €12 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €3 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 12%, skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €8 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 11%. Jos skolą sudaro 2 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 4%, iki išpirkimo 6 metų), kurių kiekviena parduodama už €974. Mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas tarp −z ir z po standartine normaliąja kreive būtų 0,7415. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,7415
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 80 % reikšmių (80-asis procentilis).
Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,8. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,01?
p ≈ 0,8E = 0,0199%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 50; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 15. Atsitiktinės 25 stebėjimų imties vidurkis 52,82. Tikrinkite H₀: μ = 50 prieš H₁: μ > 50. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 50σ = 15n = 25x̄ = 52,82H₁: μ > μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
16 matavimų imties vidurkis – 497,9. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.
x̄ = 497,9σ = 5n = 1699%
L =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 21Σy = 142Σx² = 91Σy² = 3418Σxy = 468
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 66?
n = 5ŷ = 66
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 3382 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,06)14 − 1)/0,06 = 21,02
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 6 000·21,02·1,06 = €133 655,82
Atsakymas
FV = €133 655,82
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −1739 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 6 000/1,1 = 5 454,55
CF2/(1 + 0,1)2 = 5 000/1,21 = 4 132,23
CF3/(1 + 0,1)3 = 7 000/1,331 = 5 259,20
CF4/(1 + 0,1)4 = 5 000/1,464 = 3 415,07
Sudėkite
NPV = €−1 738,95
Atsakymas
NPV = €−1 738,95
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: r* = 6,726 %
Susikirtimo norma: diskonto norma, kuriai esant dviejų projektų NPV vienoda. Tai jų pinigų srautų skirtumo (B − A) IRR. Žemiau jos didesnę NPV turi projektas su vėlesniais, didesniais pinigų srautais; virš jos laimi kitas.
Pinigų srautų skirtumas
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 13 000 − 21 000 = −8 000
ΔCF2 = 20 000 − 16 000 = 4 000
ΔCF3 = 26 500 − 9 500 = 17 000
Skirtumo IRR
NPVΔ(6%) = 286,34
NPVΔ(7%) = −105,82
r* = 6,726%
Atsakymas
r* = 6,726%
Patikra: esant 6,726%, abi NPV lygios €1 537,95.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: c = 2,001 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,06)−9 = €591,90
Kuponas
C = (728 − 591,90)/6,802 = €20,01
Kupono norma
c = 20,01/1000 = 2,001%
Atsakymas
c = 2,001%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: D = 3,876 metai
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 20/1,05 = 19,05, t·PV = 19,05
t = 2: 20/1,103 = 18,14, t·PV = 36,28
t = 3: 20/1,158 = 17,28, t·PV = 51,83
t = 4: 1020/1,216 = 839,16, t·PV = 3 356,63
Trukmė
P = 893,62
D = 3 463,79/893,62 = 3,876
Atsakymas
D = 3,876 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 10,49 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €15 000 000, E/V = 0,8, D/V = 0,2
WACC
WACC = 0,8·12% + 0,2·6%·(1 − 0,258) = 10,49%
Atsakymas
WACC = 10,49%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,5 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 0,6475
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Dispersija
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Atsakymas
Var(X) = 0,6475
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 21,24
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 21,5, Var(X) = 112,8, σX = 10,62
Tiesinis pokytis
σY = |−2|·10,62 = 21,24
Atsakymas
σY = 21,24
Vidurkis pasislenka: E(Y) = −2·21,5 + 20 = −23.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,13
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = (1 + 0,7415)/2 = 0,8708
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,8708 ir nuskaitykite z.
z = 1,13
Atsakymas
z = 1,13
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 533,7 h
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Atgal į x
x = 500 + 0,8416·40 = 533,66 h
Atsakymas
x = 533,66 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 55,44
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 19, t = 2,093
Paklaidos riba
E = 2,093·2/√20 = 0,936
Intervalas
54,5 ± 0,936 → [53,56, 55,44]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 55,44
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 10618
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
Išreikškite n
n = 2,576²·0,8·0,2/0,01² = 10617
Apvalinkite aukštyn
n = 10618
Atsakymas
n = 10618
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,1736
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 15/√25 = 3
z = (52,82 − 50)/3 = 0,94
Uodegos plotas
Φ(0,94) = 0,8264
1 − Φ(0,94) = 0,1736
p reikšmė
p = 0,1736
Atsakymas
p = 0,1736
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: L = 494,7
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Paklaidos riba
E = 2,576·5/√16 = 3,22
Intervalo rėžis
L = 497,9 − 3,22 = 494,7
Atsakymas
L = 494,7
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = −0,9155
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 468 − 21·142/6 = −29
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 3418 − 142²/6 = 57,33
Koreliacijos koeficientas
r = −29/√(17,5·57,33) = −0,9155
Atsakymas
r = −0,9155
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 6,014
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 312/5 = 62,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
Regresijos tiesė
b = 142/40 = 3,55
a = 62,4 − 3,55·5 = 44,65
ŷ = 44,65 + 3,55·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (66 − 44,65)/3,55 = 6,014
Atsakymas
x = 6,014
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.