Po 7 metų jums reikės €20 000. Sąskaita moka 3,6 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €20 0003,6% / 4n = 7
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€25 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 7 metų, esant 5,4% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?
P = €25 0005,4% / 12N = 84
I = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €50 000. Kiekvienų metų pabaigoje 7 metų ji generuoja €9 000, o po to gali būti parduota už €10 000. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €50 000CF = €9 000S = €10 000n = 7r = 12%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–3 metų pabaigoje grąžina po €11 500, €11 000, €7 000. Pinigų srautus galima reinvestuoti 12 % kapitalo kaina. Raskite modifikuotąją vidinę grąžos normą MIRR procentais.
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 6 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 2%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 7%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 2%n = 6y0 = 5,5%y1 = 7%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 7%, išperkama po 4 metų ir parduodama už €1 055. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 4P = €1 055
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €6 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €2 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 14%, skolos kaina prieš mokesčius – 6%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €17,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €980. Skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 25%. Akcijos beta koeficientas – 1,5, nerizikinga palūkanų norma – 3%, rinkos grąža – 8,5%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 164 z įvertį z.
μ = 170σ = 12x = 164
z =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,1, 0,35, 0,05
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 5X + 1. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25Y = 5X + 1
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 9 iš jų bendra masė viršija 363,6 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9> 363,6 g
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 20 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 65 tšk.σ = 10 tšk.20%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 100 telefonų, vidurkis 118,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 124 h, žinomas standartinis nuokrypis 4 h. Raskite μ₁ − μ₂ 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Dvi gamybos linijos gamina tą pačią detalę. 1 linija: 30 detalių imties vidutinis ilgis 114 mm, o žinomas linijos standartinis nuokrypis 9 mm. 2 linija: 40 detalių imties vidurkis 119,6 mm, žinomas standartinis nuokrypis 8 mm. Raskite testo statistiką z hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 linija atėmus 2 liniją).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 52 iš 80 pacientų, gydytų A būdu, ir 61 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 61n₂ = 120
z =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (5,5, 15). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(5,5, 15)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 15562 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·7 = 28
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,285 = €15 562,43
Atsakymas
PV = €15 562,43
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: I = 5078 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,0045, N = 84
A = 25 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−84) = €358,07
Iš viso palūkanų
I = N·A − P = 84·358,1 − 25 000 = €5 077,51
Atsakymas
I = €5 077,51
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −4403 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Metinių pinigų srautų dabartinė vertė
9 000·4,564 = 41 073,81
Likvidacinės vertės dabartinė vertė
10 000/2,211 = 4 523,49
NPV
NPV = −50 000 + 41 073,81 + 4 523,49 = −€4 402,70
Atsakymas
NPV = −€4 402,70
4.NPV ir IRR
Atsakymas: MIRR = 19,05 %
Modifikuotoji IRR: kiekvieną įplauką reinvestavimo norma (paprastai kapitalo kaina) kapitalizuokite iki projekto pabaigos ir gaukite galinę vertę TV. MIRR yra norma, kuri pradinę investiciją paverčia TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Įplaukų galinė vertė
11 500·1,122 = 14 425,60
11 000·1,121 = 12 320,00
7 000·1,120 = 7 000,00
TV = 33 745,60
MIRR
MIRR = (33 745,60/20 000)1/3 − 1 = 19,05%
Atsakymas
MIRR = 19,05%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = −1,232 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 055 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €1 070,92, P(6%) = €1 034,65
YTM = 5,433%
Atsakymas
YTM = 5,433%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 11,7 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·14% + 0,25·6%·(1 − 0,2) = 11,7%
Atsakymas
WACC = 11,7%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,281 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (164 − 170)/12 = −0,5
Atsakymas
z = −0,5
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 1,46
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 2,45, Var(X) = 1,347, σX = 1,161
Tiesinis pokytis
σY = |5|·1,161 = 5,804
Atsakymas
σY = 5,804
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 5·2,45 + 1 = 13,25.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1587
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g
Standartizuokite
z = (363,6 − 360)/3,6 = 1
Tikimybė
P = 1 − Φ(1) = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 56,6 tšk.
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,2
z iš lentelės
z ≈ −0,84
Atgal į pradinius vienetus
x = 65 − 0,84·10 = 56,6 tšk.
Atsakymas
x = 56,6 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 1,785 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 118,5 − 124 = −5,5
Standartinė paklaida
SE = √(4²/100 + 4²/50) = 0,6928
Paklaidos riba
E = 2,576·0,6928 = 1,785
Atsakymas
E = 1,785 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = −7,19 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (8·5² + 4·4,5²)/12 = 23,42
sp = 4,839
Paklaidos riba
E = 1,782·4,839·√(1/9 + 1/5) = 4,81
Intervalas
−12 ± 4,81 → [−16,81, −7,19]
Atsakymas
viršutinis rėžis = −7,19 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,701
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 1,98
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 470/6 = 78,33
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 402
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2331
Determinacijos koeficientas
r² = 402²/(70·2331) = 0,9903
Atsakymas
r² = 0,9903
Apie 99,03% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3,152
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 124/6 = 20,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Regresijos tiesė
b = −22/17,5 = −1,257
a = 20,67 − (−1,257)·3,5 = 25,07
ŷ = 25,07 − 1,257·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 25,07 + (−1,257)·5,5 = 18,15
Liekana
e = 15 − 18,15 = −3,152
Atsakymas
e = −3,152
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.