CFA Level I kiekybinių metodų ir fiksuotųjų pajamų praktika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Pinigų vertė laike

Būsimoji vertė: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Dabartinė vertė: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Keli periodai per metus: i = r/m, N = m·n
Anuitetas, dabartinė vertė: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Anuitetas, būsimoji vertė: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Metodas

Nubraižykite laiko ašį su kiekvienu pinigų srautu ir jo laiku.
Palūkanų normą derinkite su laikotarpiu: mėnesinėms įmokoms – mėnesinę normą.
Pavienėms sumoms naudokite FV = PV·(1 + i)ⁿ, o vienodoms įmokoms – anuiteto formules.
Patikrinkite atsakymo ženklą ir eilę.

NPV ir IRR

Grynoji dabartinė vertė: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Vienodi pinigų srautai: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Vidinė grąžos norma: r, kuriai esant NPV = 0
Sprendimas: priimti, kai NPV > 0 (arba IRR > reikalaujama grąža)

Metodas

Išvardykite visus pinigų srautus su jų metais; investicija 0 metais yra neigiama.
Diskontuokite kiekvieną pinigų srautą: CF_t/(1 + r)^t.
Sudėkite juos ir gausite NPV. Teigiama vertė reiškia, kad projektas uždirba daugiau nei r.
IRR raskite bandymų arba interpoliavimo būdu – tai norma, kuriai esant NPV lygi nuliui.

Obligacijų kaina ir pajamingumas

Obligacijos kaina: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Kas pusmetį: C/2, y/2 ir 2n laikotarpių
Einamasis pajamingumas: C/P
Kaina ir pajamingumas: pajamingumas didėja → kaina mažėja

Metodas

Raskite vieno laikotarpio kuponą ir vieno laikotarpio pajamingumą.
Kaina = kuponų (anuiteto) dabartinė vertė + nominalios vertės dabartinė vertė.
Pusmetiniams kuponams naudokite pusę kupono, pusę pajamingumo ir dvigubai daugiau laikotarpių.
Patikrinkite: jei pajamingumas didesnis už kupono normą, kaina mažesnė už nominalią vertę.

CAPM ir WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Įmonės vertė: V = E + D

Aprašomoji statistika

Vidurkis: x̄ = Σx/n
Imties standartinis nuokrypis: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė
z įvertis: z = (x − μ)/σ
Normalusis skirstinys: 68% intervale ±1σ, 95% intervale ±2σ

Tikimybė

Priešingas įvykis: P(not A) = 1 − P(A)
Sudėties taisyklė: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Nepriklausomi įvykiai: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Sąlyginė tikimybė: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binominis skirstinys: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normalusis skirstinys

z įvertis: z = (x − μ)/σ
Mažiau nei x: P(X < x) = Φ(z)
Daugiau nei x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Tarp: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Procentilis: x = μ + z·σ

Metodas

Reikšmę paverskite z įverčiu: z = (x − μ)/σ.
Lentelėje raskite Φ(z) – plotą į kairę nuo z.
Plotui į dešinę naudokite 1 − Φ(z); intervalui atimkite du plotus į kairę.
Procentiliui spręskite atvirkščiai: raskite plotą atitinkantį z, tada x = μ + z·σ.

Pasikliautinieji intervalai

σ žinomas: x̄ ± z·σ/√n
σ nežinomas: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritinė z reikšmė: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Imties dydis: n = (z·σ/E)², rounded up

Metodas

Pasirinkite tarp z (žinomas populiacijos σ) ir t (žinomas tik imties s, n − 1 laisvės laipsnių).
Raskite pasikliovimo lygmenį atitinkančią kritinę reikšmę.
Paklaidos riba: E = kritinė reikšmė × standartinis nuokrypis/√n.
Intervalas: x̄ ± E.

Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

z testas vidurkiui: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t testas vidurkiui: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dvipusis, 5% reikšmingumo lygmuo: atmeskite H₀, jei |z| > 1,96
Pasikliautinasis intervalas: x̄ ± z·σ/√n

Metodas

Suformuluokite H₀ ir H₁ ir nuspręskite, ar testas vienpusis, ar dvipusis.
Apskaičiuokite testo statistiką: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) arba su s ir t.
Palyginkite su kritine reikšme arba raskite p reikšmę.
H₀ atmeskite, jei statistika viršija kritinę reikšmę (p mažesnė už α), ir išvadą suformuluokite žodžiais.

Tiesinė regresija ir koreliacija

Kvadratų sumos: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Krypties koeficientas: b = S_xy/S_xx
Laisvasis narys: a = ȳ − b·x̄
Koreliacija: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Liekana: e = y − ŷ

2Uždaviniai

1.Pinigų vertė laikeVidutinis

Anuitetas 14 metų kiekvienų metų pabaigoje moka €8 000. Palūkanų norma 5% per metus. Raskite anuiteto dabartinę vertę PV.

A = €8 000i = 5%n = 14

PV = €

2.Pinigų vertė laikeSunkus

Pasiskolinate €8 000 esant 2,4 % metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį, ir kiekvieno mėnesio pabaigoje grąžinate €125. Per kiek mėnesių paskola bus grąžinta (paskutinė įmoka gali būti mažesnė)? Nurodykite įmokų skaičių N.

P = €8 000A = €1252,4% / 12

N = įmokos

3.NPV ir IRRVidutinis

Projektas šiandien kainuoja €200 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €14 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 4% per metus. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €14 000g = 4%r = 12%

NPV = €

4.NPV ir IRRSunkus

Projektas šiandien kainuoja €200 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €20 000 ir auga 5 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 10-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 12 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €20 000g = 5%n = 10r = 12%

NPV = €

5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 12 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.

F = €1 000kuponas = 6%YTM = 5%n = 12

P = €

6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus

Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 10 metų ir parduodama už €1 090. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.

F = €1 000kuponas = 3%n = 10P = €1 090

YTM = %

7.CAPM ir WACCVidutinis

Įmonės nuosavas kapitalas vertas €10 000 000, o skola – €2 000 000. Jos WACC 8,73%, skolos kaina prieš mokesčius 3%, o mokesčio tarifas 21%. Raskite nuosavo kapitalo kainą r_e.

E = €10 000 000D = €2 000 000WACC = 8,73%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

8.CAPM ir WACCSunkus

Įmonė turi 5 000 000 akcijų po €59,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 050. Skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,5, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 9%. Raskite WACC.

β = 1,5r_f = 2,5%r_m = 9%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

9.Aprašomoji statistikaVidutinis

Raskite duomenų imties standartinį nuokrypį s: 39, 32, 37, 50, 53, 35.

n = 6

s =

10.Aprašomoji statistikaSunkus

Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 500, standartinis nuokrypis 60. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 536?

μ = 500σ = 60x = 536

P =

11.TikimybėVidutinis

Parodytam skirstiniui raskite X standartinį nuokrypį σ.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,15, 0,2, 0,2, 0,1

σ =

12.TikimybėSunkus

Žaidimo kaina yra €10. Laimite €50 su tikimybe 0,2 ir €500 su tikimybe 0,02; kitu atveju nelaimite nieko. Statymas negrąžinamas. Raskite laukiamą grynąjį laimėjimą E(G) per žaidimą.

statymas = €10€50: p = 0,2€500: p = 0,02

E(G) = €

13.Normalusis skirstinysVidutinis

cemento maišai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 25 kg, standartinis nuokrypis 0,5 kg. Raskite tikimybę P, kad 10 iš jų bendra masė viršija 248,4 kg. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 10> 248,4 kg

P =

14.Normalusis skirstinysSunkus

Bėgiko A rato laikas X ir bėgiko B rato laikas Y yra nepriklausomi ir normalieji: X vidurkis 52 s ir standartinis nuokrypis 4 s, Y vidurkis 48 s ir standartinis nuokrypis 3 s. Raskite tikimybę P, kad X yra didesnis už Y. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis

11 elementų imties vidurkis – 93, standartinis nuokrypis s = 11,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.

n = 11x̄ = 93s = 11,599%t(10) = 3,169

E =

16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus

Bandomasis tyrimas rodo, kad brokuotų gaminių dalis yra apie 0,15. Kiek gaminių n reikia patikrinti, kad dalies 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,03?

p ≈ 0,15E = 0,0395%

n =

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis

64 studentų imties vidutinis rezultatas – 201,7, imties standartinis nuokrypis – 8. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,7s = 8n = 64

t =

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus

64 matavimų imties vidurkis – 119,9. Populiacijos standartinis nuokrypis – 5. Raskite vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį L.

x̄ = 119,9σ = 5n = 6499%

L =

19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis

Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².

n = 6

r² =

20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus

Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 40?

n = 5ŷ = 40

x =

3Tirpalai

1.Pinigų vertė laike

Atsakymas: PV = 79189 €

Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)ⁿ. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.

Anuiteto koeficientas

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5051)/0,05 = 9,899

Dabartinė vertė

PV = 8 000·9,899 = €79 189,13

Atsakymas

PV = €79 189,13

2.Pinigų vertė laike

Atsakymas: N = 69 įmokos

Pertvarkykite anuiteto formulę

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0,002/125 = 0,872

Spręskite logaritmais

N = −ln(0,872)/ln(1,002) = 68,55

Apvalinkite į didesnę pusę iki sveikų įmokų

Po 68 pilnų įmokų lieka nedidelis likutis, kurį padengia paskutinė, mažesnė įmoka.

N = 69

Atsakymas

N = 69 įmokos

3.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −25000 €

Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.

Pinigų srautų vertė

PV = 14 000/(0,12 − 0,04) = 175 000,00

NPV

NPV = 175 000,00 − 200 000 = −€25 000,00

Atsakymas

NPV = −€25 000,00

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

4.NPV ir IRR

Atsakymas: NPV = −64132 €

Augančio anuiteto dabartinė vertė

((1,05)/(1,12))¹⁰ = 0,5245

PV = 20 000/(0,12 − 0,05)·(1 − 0,5245) = 135 868,44

NPV

NPV = 135 868,44 − 200 000 = −€64 131,56

Atsakymas

NPV = −€64 131,56

NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.

5.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: P = 1089 €

Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.

Vienam laikotarpiui

C = €30,00, i = 0,025, N = 24

Kuponų dabartinė vertė

€30,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €536,55

Nominalios vertės dabartinė vertė

€1 000·0,5529 = €552,88

Kaina

P = €1 089,42

Atsakymas

P = €1 089,42

Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.

6.Obligacijų kaina ir pajamingumas

Atsakymas: YTM = 1,998 %

Pajamingumo lygtis

€1 090 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Skaitinis sprendimas

P(1%) = €1 189,43, P(2%) = €1 089,83

YTM = 1,998%

Atsakymas

YTM = 1,998%

7.CAPM ir WACC

Atsakymas: r_e = 10 %

Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).

Svoriai

V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667

WACC skolos dalis

0,1667·3%·(1 − 0,21) = 0,395%

Nuosavo kapitalo kaina

r_e = (8,73% − 0,395%)/0,8333 = 10%

Atsakymas

r_e = 10%

8.CAPM ir WACC

Atsakymas: WACC = 12,02 %

Rinkos vertės

E = 5 000 000·€59,50 = €297 500 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,5·6,5% = 12,25%

Svoriai

V = €308 000 000, E/V = 0,9659, D/V = 0,03409

WACC

WACC = 0,9659·12,25% + 0,03409·7%·(1 − 0,2) = 12,02%

Atsakymas

WACC = 12,02%

9.Aprašomoji statistika

Atsakymas: s = 8,509

Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.

Vidurkis

x̄ = 246/6 = 41

Nuokrypių kvadratai

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−9)² + (−4)² + 9² + 12² + (−6)² = 362

Standartinis nuokrypis

s = √(362/5) = 8,509

Atsakymas

s = 8,509

10.Aprašomoji statistika

Atsakymas: P = 0,2743

Standartizuokite

z = 0,6

Standartinio normaliojo skirstinio lentelė

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Atsakymas

P = 0,2743

11.Tikimybė

Atsakymas: σ = 1,396

Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σ_Y = |a|·σ_X; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.

Vidurkis

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,2 + 3·0,2 + 4·0,1 = 1,55

Kvadratų vidurkis

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,2 + 9·0,2 + 16·0,1 = 4,35

Dispersija

Var(X) = 4,35 − 1,55² = 1,947

σ = √1,947 = 1,396

Atsakymas

σ = 1,396

12.Tikimybė

Atsakymas: E(G) = 10 €

Grynosios baigtys

G: 40 (p = 0,2), 490 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)

Laukiamoji vertė

E(G) = 40·0,2 + 490·0,02 − 10·0,78 = 10 €

Atsakymas

E(G) = 10 €

Teigiama vertė reiškia, kad vidutiniškai laimite pinigų.

13.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,8438

Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², todėl σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).

Sumos skirstinys

μ_T = 250 kg, σ_T = 0,5·√10 = 1,581 kg

Standartizuokite

z = (248,4 − 250)/1,581 = −1,01

Tikimybė

P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438

Atsakymas

P = 0,8438

14.Normalusis skirstinys

Atsakymas: P = 0,7881

Skirtumo skirstinys

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Standartizuokite

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Tikimybė

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Atsakymas

P = 0,7881

15.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: E = 10,99

Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.

Kritinė reikšmė

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Paklaidos riba

E = 3,169·11,5/√11 = 10,99

Atsakymas

E = 10,99

16.Pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: n = 545

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Išreikškite n

n = 1,96²·0,15·0,85/0,03² = 544,2

Apvalinkite aukštyn

n = 545

Atsakymas

n = 545

17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: t = 1,7

Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).

Standartinė paklaida

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Testo statistika

t = (201,7 − 200)/1 = 1,7

Atsakymas

t = 1,7

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu (dvipusis testas).

18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai

Atsakymas: L = 118,3

Paklaidos riba

E = 2,576·5/√64 = 1,61

Intervalo rėžis

L = 119,9 − 1,61 = 118,3

Atsakymas

L = 118,3

19.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: r² = 0,987

Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.

Vidurkiai

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 122/6 = 20,33

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 361,3

Determinacijos koeficientas

r² = 158²/(70·361,3) = 0,987

Atsakymas

r² = 0,987

Apie 98,7% y kitimo paaiškinama tiese.

20.Tiesinė regresija ir koreliacija

Atsakymas: x = 1,4

Vidurkiai

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 224/5 = 44,8

Kvadratų ir sandaugų sumos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 30

Regresijos tiesė

b = 30/10 = 3

a = 44,8 − 3·3 = 35,8

ŷ = 35,8 + 3·x

Išspręskite x atžvilgiu

x = (40 − 35,8)/3 = 1,4

Atsakymas

x = 1,4

Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income