Investuojate €8 000 esant 6 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 5 metų.
PV = €8 0006% / 4n = 5
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 8 metus atidedate €250. Sąskaita moka 5,4 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2505,4% / 12N = 96
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €500 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €50 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 2% per metus. Kapitalo kaina 11%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €500 000CF1 = €50 000g = 2%r = 11%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €16 500, €13 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 13 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 7 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4%YTM = 3%n = 7
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 8% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis ir išperkama po 12 metų. Ji parduodama už €1 169. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM kaip metinę normą (dvigubą pusmečio pajamingumą) procentais.
F = €1 000kuponas = 8% (2×)n = 12P = €1 169
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €2 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 11%, skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 25,8%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €6 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 10%. Jos skolą sudaro 5 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%, iki išpirkimo 9 metų), kurių kiekviena parduodama už €1 109. Mokesčio tarifas 21%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
varžtai masės yra nepriklausomos ir normaliosios, jų vidurkis 40 g, standartinis nuokrypis 1,2 g. Raskite tikimybę P, kad 6 iš jų bendra masė yra mažesnė nei 237,1 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6< 237.1 g
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 97,5 % reikšmių (97,5-asis procentilis).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
12 elementų imties vidurkis – 116, standartinis nuokrypis s = 1,5. Populiacija pasiskirsčiusi apytiksliai normaliai. Raskite vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
n = 12x̄ = 116s = 1,595%t(11) = 2,201
E =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 19. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?
σ = 19E = 2,590%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
100 studentų imties vidutinis rezultatas – 115,3, imties standartinis nuokrypis – 15. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 115,3s = 15n = 100
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 60 iš 150 pacientų, gydytų A būdu, ir 102 iš 200 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 60n₁ = 150x₂ = 102n₂ = 200
z =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = apkrova kN ir y = pailgėjimas mm. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 13?
n = 5ŷ = 13
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 10775 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 50 000/(0,11 − 0,02) = 555 555,56
NPV
NPV = 555 555,56 − 500 000 = €55 555,56
Atsakymas
NPV = €55 555,56
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 12,3 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(10%) = 743,80
NPV(15%) = −822,31
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 10 + 5·743,80/(743,80 − (−822,31)) = 12,37%
tiksliai: NPV(12,3%) = 0 → IRR = 12,3%
Atsakymas
IRR = 12,3%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1063 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €20,00, i = 0,015, N = 14
Kuponų dabartinė vertė
€20,00·(1 − 0,8118)/0,015 = €250,87
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,8118 = €811,85
Kaina
P = €1 062,72
Atsakymas
P = €1 062,72
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 6,004 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €40,00, N = 24
Skaitinis sprendimas
i = 3,002% per pusmetį
YTM
YTM = 2·3,002% = 6,004%
Atsakymas
YTM = 6,004%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 4,733 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 1287
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Atsakymas
N = 1287
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 1,117
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,1, Var(X) = 4,99, σX = 2,234
Tiesinis pokytis
σY = |0,5|·2,234 = 1,117
Atsakymas
σY = 1,117
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 0,5·3,1 − 3 = −1,45.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1611
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μT = 240 g, σT = 1,2·√6 = 2,939 g
Standartizuokite
z = (237,1 − 240)/2,939 = −0,99
Tikimybė
P = Φ(−0,99) = 0,1611
Atsakymas
P = 0,1611
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 129,4 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Atgal į x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 tšk.
Atsakymas
x = 129,4 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 0,9531
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 11, t = 2,201
Paklaidos riba
E = 2,201·1,5/√12 = 0,9531
Atsakymas
E = 0,9531
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 157
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·19/2,5)² = 156,3
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 157
Atsakymas
n = 157
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,133
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = −2,042
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 2784 − 30·428/5 = 216
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 37812 − 428²/5 = 1175
Koreliacijos koeficientas
r = 216/√(40·1175) = 0,9962
Atsakymas
r = 0,9962
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 7,125
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 56/5 = 11,2
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Regresijos tiesė
b = 64/40 = 1,6
a = 11,2 − 1,6·6 = 1,6
ŷ = 1,6 + 1,6·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (13 − 1,6)/1,6 = 7,125
Atsakymas
x = 7,125
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.