Po 10 metų jums reikės €50 000. Sąskaita moka 4,8 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €50 0004,8% / 12n = 10
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€200 000 būsto paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 25 metų, esant 3% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek dar liks skolos iš karto po 12-ųjų metų pabaigos įmokos? Raskite likusią skolą B.
P = €200 0003% / 12N = 300k = 144
B = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€60 000 investicija 1–3 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €16 000, €26 000, €27 000. Kapitalo kaina – 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas šiandien kainuoja €150 000. Jo pinigų srautas 1-ųjų metų pabaigoje yra €15 000 ir auga 4 % per metus iki paskutinio pinigų srauto 9-ųjų metų pabaigoje. Kapitalo kaina 8 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €150 000CF1 = €15 000g = 4%n = 9r = 8%
NPV = €
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 9 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 2,5% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 4,5%YTM = 2,5%n = 9
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 7%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €1 105. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 7%n = 9P = €1 105
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 1,5. Jos nuosavo kapitalo kaina 14%, skolos kaina prieš mokesčius 4,5%, o mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC.
D/E = 1,5re = 14%rd = 4,5%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €33,00 ir 20 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €1 000. Skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 30%. Akcijos beta koeficientas – 0,6, nerizikinga palūkanų norma – 4%, rinkos grąža – 11%. Raskite WACC.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9582. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9582
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad IQ testų rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100 tšk., standartinis nuokrypis 15 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 5 % reikšmių (5-asis procentilis).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = tšk.
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 36 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 11,1. Kokia yra tų pačių duomenų 90 % intervalo paklaidos riba E₂?
99%n₁ = 36E₁ = 11,190%
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
15 apdirbtų velenų skersmenų imties standartinis nuokrypis 11,5 µm. Laikydami, kad skersmenys pasiskirstę normaliai, raskite populiacijos standartinio nuokrypio 95 % pasikliautinojo intervalo rėžį (viršutinis rėžis) σ. Kai df = 14, 2,5 % χ² skirstinio yra žemiau 5,629, o 2,5 % – aukščiau 26,119.
n = 15s = 11,5 µmχ² = 5,629, 26,119
σ = µm
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 50; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 4. Atsitiktinės 64 stebėjimų imties vidurkis 51,19. Tikrinkite H₀: μ = 50 prieš H₁: μ > 50. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 50σ = 4n = 64x̄ = 51,19H₁: μ > μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Klinikiniame tyrime pasveiksta 163 iš 250 pacientų, gydytų A būdu, ir 73 iš 120 pacientų, gydytų B būdu. Naudodami jungtinę dalį, raskite testo statistiką z hipotezei H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 73n₂ = 120
z =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 21Σy = 114Σx² = 91Σy² = 2266Σxy = 359
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 95?
n = 5ŷ = 95
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 30969 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·10 = 120
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,615 = €30 968,81
Atsakymas
PV = €30 968,81
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: B = 122390 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,0025, N = 300
A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−300) = €948,42
Likusių įmokų dabartinė vertė
Visa likusi skola turi būti lygiai padengta likusiomis įmokomis.
N − k = 300 − 144 = 156
B = 948,4·(1 − (1 + 0,0025)−156)/0,0025 = €122 389,59
Atsakymas
B = €122 389,59
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −1461 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 16 000/1,08 = 14 814,81
CF2/(1 + 0,08)2 = 26 000/1,166 = 22 290,81
CF3/(1 + 0,08)3 = 27 000/1,26 = 21 433,47
Sudėkite
NPV = €−1 460,91
Atsakymas
NPV = €−1 460,91
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −42004 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: P = 1160 €
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €22,50, i = 0,0125, N = 18
Kuponų dabartinė vertė
€22,50·(1 − 0,7996)/0,0125 = €360,66
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7996 = €799,63
Kaina
P = €1 160,30
Atsakymas
P = €1 160,30
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 5,49 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 105 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(5%) = €1 142,16, P(6%) = €1 068,02
YTM = 5,49%
Atsakymas
YTM = 5,49%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,603 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·14% + 0,6·4,5%·(1 − 0,258) = 7,603%
Atsakymas
WACC = 7,603%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 5,898 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 1 000 000·€33,00 = €33 000 000
D = 20 000·€1 000 = €20 000 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 4% + 0,6·7% = 8,2%
Svoriai
V = €53 000 000, E/V = 0,6226, D/V = 0,3774
WACC
WACC = 0,6226·8,2% + 0,3774·3%·(1 − 0,3) = 5,898%
Atsakymas
WACC = 5,898%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,21
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,6
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Atsakymas
P = 0,2743
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1071
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pirmas ir antras traukimas
P = 3/8 · 2/7 = 6/56 = 0,1071
Atsakymas
P = 0,1071
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 128,4
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 25,5, Var(X) = 164,8, σX = 12,84
Tiesinis pokytis
σY = |10|·12,84 = 128,4
Atsakymas
σY = 128,4
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·25,5 + 20 = 275.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = −1,73
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,9582 = 0,0418
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,0418 ir nuskaitykite z.
z = −1,73
Atsakymas
z = −1,73
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 75,33 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Atgal į x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 tšk.
Atsakymas
x = 75,33 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 7,088
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(36/36) = 0,6386
Nauja paklaidos riba
E₂ = 11,1·0,6386 = 7,088
Atsakymas
E₂ = 7,088
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: σ = 18,14 µm
Dispersijos intervalas: (n − 1)s²/σ² turi χ² skirstinį su n − 1 laisvės laipsniu. σ² 95 % intervalas tęsiasi nuo (n − 1)s², padalyto iš viršutinės χ² reikšmės (virš jos 2,5 %), iki (n − 1)s², padalyto iš apatinės χ² reikšmės (žemiau jos 2,5 %); σ intervalas gaunamas ištraukus šaknį iš abiejų rėžių. Jis nesimetriškas s atžvilgiu.
Kvadratų suma
(n − 1)s² = 14·11,5² = 1852
σ² rėžiai
1852/26,119 = 70,89
1852/5,629 = 328,9
σ rėžis
σ = √328,9 = 18,14 µm
Atsakymas
σ = 18,14 µm
σ 95 % intervalas: [8,419, 18,14] µm.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,008656
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5
z = (51,19 − 50)/0,5 = 2,38
Uodegos plotas
Φ(2,38) = 0,9913
1 − Φ(2,38) = 0,0087
p reikšmė
p = 0,008656
Atsakymas
p = 0,008656
p ≤ 0,05, todėl H₀ atmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: z = 0,8181
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 359 − 21·114/6 = −40
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2266 − 114²/6 = 100
Koreliacijos koeficientas
r = −40/√(17,5·100) = −0,9562
Atsakymas
r = −0,9562
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 26,38
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 110/5 = 22
ȳ = 402/5 = 80,4
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 300
Regresijos tiesė
b = 300/90 = 3,333
a = 80,4 − 3,333·22 = 7,067
ŷ = 7,067 + 3,333·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (95 − 7,067)/3,333 = 26,38
Atsakymas
x = 26,38
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.