Po 10 metų jums reikės €20 000. Sąskaita moka 5 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €20 0005% / 4n = 10
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
€30 000 paskola grąžinama lygiomis mėnesio įmokomis per 7 metų, esant 7,2% metinei normai, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek palūkanų I iš viso sumokama per visą paskolos laikotarpį?
P = €30 0007,2% / 12N = 84
I = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €50 000, tarnauja 5 metų, o jos eksploatacija kasmet kainuoja €2 000 (mokama kiekvienų metų pabaigoje). Kapitalo kaina 6%. Raskite jos ekvivalentines metines sąnaudas EAC.
C0 = €50 000M = €2 000n = 5r = 6%
EAC = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €40 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €17 000, €15 000, €28 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −40 000CF1 = 17 000CF2 = 15 000CF3 = 28 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 6% metinį kuponą ir išperkama po 14 metų. Jos pajamingumas iki išpirkimo pasikeičia nuo 7% iki 8%. Kiek ΔP pasikeičia obligacijos kaina?
F = €1 000kuponas = 6%n = 14y1 = 7%y2 = 8%
ΔP = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, iki kurios išpirkimo liko 18 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 5%), parduodama už €1 127. Emitentas gali ją išpirkti po 5 metų už €1 050 išpirkimo kainą. Raskite pajamingumą iki pirmalaikio išpirkimo YTC procentais.
F = €1 000kuponas = 5%P = €1 127išpirkimo kaina = €1 050išpirkimas po 5 metai
YTC = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €2 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €3 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 3,5%, mokesčio tarifas – 20%. Raskite WACC.
Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,2, įmonės akcijų beta 1,1. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 1,5. Mokesčio tarifas 21%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 6%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re po pakeitimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 170, standartinis nuokrypis 8. Kokia reikšmių dalis P yra didesnė už 173,2?
μ = 170σ = 8x = 173,2
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 10 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 10k = 2
N =
12.TikimybėSunkus
Teste yra 6 klausimų su pasirenkamaisiais atsakymais. Spėliojanti studentė į kiekvieną atsako teisingai su tikimybe 0,3, nepriklausomai. Kokia tikimybė P, kad teisingų atsakymų bus lygiai 4?
n = 6p = 0,3k = 4
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Kokia dalis reikšmių yra tarp 53,5 ir 80 tšk.? P pateikite dešimtaine trupmena.
μ = 65σ = 10x1 = 53,5x2 = 80
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 65 tšk., standartinis nuokrypis 10 tšk.. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).
Populiacijos standartinis nuokrypis – 38. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 38E = 499%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginami du mokymo metodai. 1 grupė: 11 studentų, vidutinis rezultatas 83,5, standartinis nuokrypis 9. 2 grupė: 6 studentų, vidutinis rezultatas 94,7, standartinis nuokrypis 8,5. Laikykite, kad populiacijų dispersijos lygios, ir taikykite jungtinės dispersijos dviejų imčių t testą. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ₁ = μ₂, skirtumą imdami kaip x̄₁ − x̄₂ (1 grupė atėmus 2 grupę).
n₁ = 11x̄₁ = 83,5s₁ = 9n₂ = 6x̄₂ = 94,7s₂ = 8,5
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ < 100 atliekamas, kai α = 0.10, su 100 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 15. Iš tikrųjų vidurkis lygus 97.3. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 100μ = 97,3σ = 15n = 100α = 0,10
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 19.
n = 6x = 19
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 12168 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·10 = 40
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,644 = €12 168,27
Atsakymas
PV = €12 168,27
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: I = 8280 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Mėnesinė įmoka
i = 0,006, N = 84
A = 30 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)−84) = €455,72
Iš viso palūkanų
I = N·A − P = 84·455,7 − 30 000 = €8 280,40
Atsakymas
I = €8 280,40
3.NPV ir IRR
Atsakymas: EAC = 13870 €
Ekvivalentinės metinės sąnaudos: visų sąnaudų dabartinę vertę paskirstykite per tarnavimo laiką vienodomis metinėmis sumomis (anuitetu): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Taip galima palyginti skirtingo tarnavimo laiko mašinas.
Anuiteto koeficientas
(1 − 1,06−5)/0,06 = 4,212
Metinė pirkimo kainos dalis
50 000/4,212 = 11 869,82
EAC
EAC = 11 869,82 + 2 000 = €13 869,82
Atsakymas
EAC = €13 869,82
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 21,15 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(20%) = 787,04
NPV(25%) = −2 464,00
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
1127 = 50·(1 − (1 + y)−5)/y + 1050/(1 + y)5
Skaitinis sprendimas
y = 3%: €1 134,72
y = 4%: €1 085,61
YTC = 3,154%
Atsakymas
YTC = 3,154%
Pajamingumas iki išpirkimo termino yra 3,997%. Investuotojai į obligaciją su premija tikisi, kad ji bus išpirkta anksčiau, todėl mažesnis pajamingumas iki pirmalaikio išpirkimo yra realesnis.
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 4,88 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6
WACC
WACC = 0,4·8% + 0,6·3,5%·(1 − 0,2) = 4,88%
Atsakymas
WACC = 4,88%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 14,45 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Pašalinkite skolos poveikį beta
βU = 1,1/(1 + 0,79·0,2) = 0,9499
Perskaičiuokite su nauju D/E
βL = 0,9499·(1 + 0,79·1,5) = 2,076
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 2,076·6% = 14,45%
Atsakymas
re = 14,45%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 11,29
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 0,4
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Atsakymas
P = 0,3446
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 45
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
Atsakymas
N = 45
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,05953
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
z įverčiai
z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15
z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5
Plotas tarp
P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081
Atsakymas
P = 0,8081
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 77,82 tšk.
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Atgal į x
x = 65 + 1,282·10 = 77,82 tšk.
Atsakymas
x = 77,82 tšk.
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: viršutinis rėžis = 81,41
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Kritinė reikšmė
df = n − 1 = 6, t = 1,943
Paklaidos riba
E = 1,943·13,5/√7 = 9,914
Intervalas
71,5 ± 9,914 → [61,59, 81,41]
Atsakymas
viršutinis rėžis = 81,41
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 599
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·38/4)² = 598,9
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 599
Atsakymas
n = 599
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −2,497
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Jungtinė dispersija
sp² = (10·9² + 5·8,5²)/15 = 78,08
sp = 8,836
Standartinė paklaida
SE = 8,836·√(1/11 + 1/6) = 4,485
Testo statistika
t = (83,5 − 94,7)/4,485 = −2,497
Atsakymas
t = −2,497
Kai df = 15, dvipusio 5 % testo kritinė reikšmė yra 2,131; |t| didesnis, todėl H₀ atmetama.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 69,78 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 100 − 1,282·1,5 = 98,08
z esant tikrajam vidurkiui
z = (98,08 − 97,3)/1,5 = 0,518
Galia
galia = P(Z < 0.518) = 69.78%
1 − β = 69,78%
Atsakymas
1 − β = 69,78%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,8803
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 399/6 = 66,5
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 93,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 567,5
Determinacijos koeficientas
r² = 93,5²/(17,5·567,5) = 0,8803
Atsakymas
r² = 0,8803
Apie 88,03% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 52
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 114/6 = 19
ȳ = 312/6 = 52
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248
Regresijos tiesė
b = 248/70 = 3,543
a = 52 − 3,543·19 = −15,31
ŷ = −15,31 + 3,543·x
Prognozė
ŷ = −15,31 + 3,543·19 = 52
Atsakymas
ŷ = 52
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.