Po 8 metų jums reikės €40 000. Sąskaita moka 4,8 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €40 0004,8% / 12n = 8
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 6 metus atidedate €250. Sąskaita moka 7,2 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2507,2% / 12N = 72
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €50 000 ir kiekvienų metų pabaigoje 4 metų grąžina €16 500. Kapitalo kaina 5 %. Laikykite, kad pinigai per kiekvienus metus gaunami tolygiai. Raskite diskontuotąjį atsipirkimo laikotarpį DPB metais.
Projektas kainuoja €25 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €9 500, €17 500, €16 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −25 000CF1 = 9 500CF2 = 17 500CF3 = 16 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, išperkama po 8 metų ir moka metinius kuponus. Ji parduodama už €1 202, kai pajamingumas iki išpirkimo 4%. Raskite kupono normą c procentais.
F = €1 000n = 8P = €1 202YTM = 4%
c = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 3%, išperkama po 8 metų ir parduodama už €1 155. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 3%n = 8P = €1 155
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės skolos ir nuosavo kapitalo santykis (rinkos vertėmis) 0,25. Jos nuosavo kapitalo kaina 14%, skolos kaina prieš mokesčius 4%, o mokesčio tarifas 25,8%. Raskite WACC.
D/E = 0,25re = 14%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
8.CAPM ir WACCSunkus
Esant dabartiniam skolos ir nuosavo kapitalo santykiui 0,4, įmonės akcijų beta 1. Ji planuoja padidinti skolos ir nuosavo kapitalo santykį iki 0,75. Mokesčio tarifas 30%, nerizikinga norma 2%, o rinkos rizikos premija 4,5%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re po pakeitimo.
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,9332. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,9332
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
baterijų veikimo trukmės pasiskirstę normaliai, vidurkis 500 h, standartinis nuokrypis 40 h. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti apatiniai 70 % būtų kairėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 500 hσ = 40 h70%
x = h
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo, pagrįsto 50 stebėjimais ir žinomu σ, paklaidos riba yra 7,1. Kokia bus paklaidos riba E₂, jei tame pačiame tyrime bus naudojama 200 stebėjimų?
95%n₁ = 50E₁ = 7,1n₂ = 200
E₂ =
16.Pasikliautinieji intervalaiSunkus
Populiacijos standartinis nuokrypis – 7. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 2,5?
σ = 7E = 2,595%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
25 studentų imties vidutinis rezultatas – 87,6, imties standartinis nuokrypis – 20. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 87,6s = 20n = 25
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas H₀: μ = 100 prieš H₁: μ > 100 atliekamas, kai α = 0,01, su 25 dydžio imtimi; žinoma, kad standartinis nuokrypis yra 12,5. Iš tikrųjų vidurkis lygus 103,75. Raskite testo galią 1 − β procentais.
μ₀ = 100μ = 103,75σ = 12,5n = 25α = 0,01
1 − β = %
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 5
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = temperatūra °C ir y = parduoti ledai. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 125?
n = 5ŷ = 125
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 27266 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·8 = 96
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1,467 = €27 266,13
Atsakymas
PV = €27 266,13
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 22431 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Atsipirkimo laikotarpis: laikas, per kurį sukauptieji pinigų srautai padengia pradinę investiciją. Laikoma, kad pinigai kiekvienais metais gaunami tolygiai, todėl paskutinė dalis yra metų dalis. Paprastasis atsipirkimo laikotarpis neatsižvelgia į pinigų vertę laike; diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis vietoj to naudoja diskontuotus pinigų srautus.
Diskontuoti ir sukauptieji pinigų srautai
metai 1: 16 500/1,05 = 15 714,29 → Σ = 15 714,29
metai 2: 16 500/1,103 = 14 965,99 → Σ = 30 680,27
metai 3: 16 500/1,158 = 14 253,32 → Σ = 44 933,59
metai 4: 16 500/1,216 = 13 574,59 → Σ = 58 508,18
Paskutiniųjų metų dalis
DPB = 3 + 5 066,41/13 574,59 = 3,373
Atsakymas
DPB = 3,373 metai
Diskontuotasis atsipirkimo laikotarpis visada ilgesnis už paprastąjį (3,03 metų).
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 29,86 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 1 992,00
NPV(30%) = −54,62
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Nominalios vertės dabartinė vertė
1000·(1 + 0,04)−8 = €730,69
Kuponas
C = (1202 − 730,69)/6,733 = €70,00
Kupono norma
c = 70/1000 = 7%
Atsakymas
c = 7%
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 0,9764 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€1 155 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Skaitinis sprendimas
P(1%) = €1 153,03, P(1%) = €1 153,03
YTM = 0,9764%
Atsakymas
YTM = 0,9764%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 11,79 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai iš D/E
E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8
D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2
WACC
WACC = 0,8·14% + 0,2·4%·(1 − 0,258) = 11,79%
Atsakymas
WACC = 11,79%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 7,361 %
Sverta beta (Hamada): skola daro nuosavą kapitalą rizikingesnį. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), kur βU – verslo be skolos beta. Norėdami perkelti beta į kitą kapitalo struktūrą, pirmiausia pašalinkite skolos poveikį, tada perskaičiuokite su nauju D/E.
Pašalinkite skolos poveikį beta
βU = 1/(1 + 0,7·0,4) = 0,7813
Perskaičiuokite su nauju D/E
βL = 0,7813·(1 + 0,7·0,75) = 1,191
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 1,191·4,5% = 7,361%
Atsakymas
re = 7,361%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,01
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (520 − 500)/50 = 0,4
Atsakymas
z = 0,4
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 1287
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
Atsakymas
N = 1287
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 13,23
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 3,5, Var(X) = 1,75, σX = 1,323
Tiesinis pokytis
σY = |10|·1,323 = 13,23
Atsakymas
σY = 13,23
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 10·3,5 + 1 = 36.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = −1,5
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,9332 = 0,0668
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,0668 ir nuskaitykite z.
z = −1,50
Atsakymas
z = −1,50
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 521 h
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,7
z iš lentelės
z ≈ 0,52
Atgal į pradinius vienetus
x = 500 + 0,52·40 = 521 h
Atsakymas
x = 521 h
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E₂ = 3,55
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Paklaidos ribų santykis
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/200) = 0,5
Nauja paklaidos riba
E₂ = 7,1·0,5 = 3,55
Atsakymas
E₂ = 3,55
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 31
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,96·7/2,5)² = 30,12
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 31
Atsakymas
n = 31
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3,1
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: 1 − β = 20,44 %
Testo galia: galia = 1 − β yra tikimybė atmesti H₀, kai ji klaidinga. Iš μ₀ ir z_α raskite ribą x̄c, tada naudodami tikrąjį vidurkį apskaičiuokite tikimybę patekti už x̄c: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritinis imties vidurkis
SE = 12,5/√25 = 2,5
x̄c = 100 + 2,326·2,5 = 105,8
z esant tikrajam vidurkiui
z = (105,8 − 103,75)/2,5 = 0,826
Galia
galia = P(Z > 0,826) = 20,44%
1 − β = 20,44%
Atsakymas
1 − β = 20,44%
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9842
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 424/5 = 84,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1691
Determinacijos koeficientas
r² = 258²/(40·1691) = 0,9842
Atsakymas
r² = 0,9842
Apie 98,42% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 26,53
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.