Kredito kortelės nominalioji palūkanų norma 20% per metus, palūkanas kapitalizuojant kasdien. Raskite efektyviąją metinę normą EAR procentais.
r = 20%m = 365
EAR = %
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 26 metus atidedate €100. Sąskaita moka 3 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €1003% / 12N = 312
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Projektas šiandien kainuoja €500 000. Pirmųjų metų pabaigoje jis generuoja €45 000, o vėliau pinigų srautas amžinai auga 1% per metus. Kapitalo kaina 11%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €500 000CF1 = €45 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €34 000, €31 000. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 34 000CF2 = 31 000
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 8 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 3%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 3,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 8y0 = 3%y1 = 3,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 6%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 4YTM = 6%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €10 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €6 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 8%, skolos kaina prieš mokesčius – 7%, mokesčio tarifas – 30%. Raskite WACC.
Įmonė turi 2 000 000 akcijų po €52,50 ir 40 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 3%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,5, nerizikinga palūkanų norma – 2%, rinkos grąža – 7%. Raskite WACC.
Egzamino rezultatai pasiskirstę normaliai, vidurkis 100, standartinis nuokrypis 12. Raskite rezultato 90,4 z įvertį z.
μ = 100σ = 12x = 90,4
z =
11.TikimybėVidutinis
Simetriškas kauliukas metamas 3 kartus. Kokia tikimybė P gauti bent vieną šešetą?
n = 3
P =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 9 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,3. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 9p = 0,3
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
X yra normalusis dydis, kurio vidurkis 250 g ir standartinis nuokrypis 4 g; Y yra nepriklausomas normalusis dydis, kurio vidurkis 500 g ir standartinis nuokrypis 9 g. Raskite tikimybę P, kad X + Y yra didesnė nei 759,8 g. Suapvalinkite z iki dviejų skaitmenų po kablelio.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 759,8 g
P =
14.Normalusis skirstinysSunkus
suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Nuvilkite ribą taip, kad nuspalvinti viršutiniai 25 % būtų dešinėje nuo jos. Raskite ribą x.
μ = 178 cmσ = 7 cm25%
x = cm
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 50 telefonų, vidurkis 135 h, žinomas standartinis nuokrypis 14 h. 2 modelis: 50 telefonų, vidurkis 147 h, žinomas standartinis nuokrypis 6 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 10. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 1?
σ = 10E = 199%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Teigiama, kad populiacijos vidurkis lygus 50; žinoma, kad populiacijos standartinis nuokrypis yra 48. Atsitiktinės 144 stebėjimų imties vidurkis 45,36. Tikrinkite H₀: μ = 50 prieš H₁: μ < 50. Raskite p reikšmę p.
μ₀ = 50σ = 48n = 144x̄ = 45,36H₁: μ < μ₀
p =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Vienpusis z testas, kai α = 0,01, turi aptikti 2 vienetų vidurkio poslinkį su 80 % galia. Standartinis nuokrypis 13. Raskite mažiausią imties dydį n.
Lentelėje pateikta 5 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 5
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Prognozuokite ŷ, kai x = 4,5.
n = 6x = 4,5
ŷ =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: EAR = 22,13 %
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Laikotarpio norma
r/m = 0,2/365 = 0,0005479
Kapitalizuokite per vienus metus
EAR = (1 + 0,0005479)365 − 1 = 1,221 − 1 = 22,13%
Atsakymas
EAR = 22,13%
Kai palūkanos kapitalizuojamos dažniau nei kartą per metus, EAR visada didesnė už nominaliąją normą.
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 47174 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Pinigų srautų vertė
PV = 45 000/(0,11 − 0,01) = 450 000,00
NPV
NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00
Atsakymas
NPV = −€50 000,00
NPV neigiama, todėl projektas uždirba mažiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 19,77 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 3 005,67
NPV(20%) = −138,89
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 40/1,06 = 37,74, t·PV = 37,74
t = 2: 40/1,124 = 35,60, t·PV = 71,20
t = 3: 40/1,191 = 33,58, t·PV = 100,75
t = 4: 1040/1,262 = 823,78, t·PV = 3 295,11
Trukmė
P = 930,70
D = 3 504,80/930,70 = 3,766
Atsakymas
D = 3,766 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,838 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €16 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·7%·(1 − 0,3) = 6,838%
Atsakymas
WACC = 6,838%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 7,599 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 2 000 000·€52,50 = €105 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2% + 1,5·5% = 9,5%
Svoriai
V = €143 400 000, E/V = 0,7322, D/V = 0,2678
WACC
WACC = 0,7322·9,5% + 0,2678·3%·(1 − 0,2) = 7,599%
Atsakymas
WACC = 7,599%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 17,26
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = (90,4 − 100)/12 = −0,8
Atsakymas
z = −0,8
11.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,4213
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Priešingas įvykis
P(nėra šešeto) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Atsakymas
P = 0,4213
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,196
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,79 = 0,04035
P(X = 1) = 9·0,3·0,78 = 0,1556
Sudėkite
P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196
Atsakymas
P = 0,196
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: P = 0,1587
Normaliųjų dydžių sumos ir skirtumai: jei X ir Y yra nepriklausomi ir normalieji, tai X + Y ir X − Y taip pat normalieji. Vidurkiai sudedami arba atimami: E(X ± Y) = μX ± μY. Dispersijos visada sudedamos, net ir skirtumui: Var(X ± Y) = σX² + σY², todėl σ = √(σX² + σY²). Standartiniai nuokrypiai tiesiogiai niekada nesudedami. n nepriklausomų vienodai pasiskirsčiusių elementų sumos vidurkis yra n·μ, o standartinis nuokrypis σ·√n. Tada standartizuokite kaip įprasta: z = (x − vidurkis)/σ ir raskite Φ(z).
Sumos skirstinys
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standartizuokite
z = (759,8 − 750)/9,849 = 1
Viršutinė uodega
P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587
Atsakymas
P = 0,1587
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 182,7 cm
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje
Φ(z) = 0,75
z iš lentelės
z ≈ 0,67
Atgal į pradinius vienetus
x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm
Atsakymas
x = 182,7 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 4,222 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 135 − 147 = −12
Standartinė paklaida
SE = √(14²/50 + 6²/50) = 2,154
Paklaidos riba
E = 1,96·2,154 = 4,222
Atsakymas
E = 4,222 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 664
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (2,576·10/1)² = 663,6
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 664
Atsakymas
n = 664
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: p = 0,123
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Testo statistika
SE = σ/√n = 48/√144 = 4
z = (45,36 − 50)/4 = −1,16
Uodegos plotas
Φ(1,16) = 0,8770
1 − Φ(1,16) = 0,1230
p reikšmė
p = 0,123
Atsakymas
p = 0,123
p > 0,05, todėl H₀ neatmetama 5 % reikšmingumo lygmeniu.
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 425
Imties dydis testui: kad vienpusis z testas α lygmeniu aptiktų tikrąjį poslinkį δ su galia 1 − β, standartinė paklaida turi tenkinti δ = (z_α + z_β)·σ/√n, todėl n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², suapvalinta į didesnę pusę.
Išreikškite n
n = ((2,326 + 0,842)·13/2)² = 424
Apvalinkite aukštyn
n = 425
Atsakymas
n = 425
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9375
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 349/5 = 69,8
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Syy = Σ(y − ȳ)² = 802,8
Koreliacijos koeficientas
r = 168/√(40·802,8) = 0,9375
Atsakymas
r = 0,9375
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: ŷ = 59,98
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 335/6 = 55,83
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72,5
Regresijos tiesė
b = 72,5/17,5 = 4,143
a = 55,83 − 4,143·3,5 = 41,33
ŷ = 41,33 + 4,143·x
Prognozė
ŷ = 41,33 + 4,143·4,5 = 59,98
Atsakymas
ŷ = 59,98
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.