Investuojate €8 000 esant 4,8 % nominaliajai metinei palūkanų normai, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Raskite investicijos vertę FV po 6 metų.
PV = €8 0004,8% / 4n = 6
FV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvienų metų pradžioje 14 metų įnešate €5 000, pirmąjį įnašą – šiandien. Sąskaita moka 8% per metus. Kiek bus sąskaitoje 14-ųjų metų pabaigoje? Raskite FV.
A = €5 000i = 8%n = 14
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
Mašina šiandien kainuoja €80 000. Kiekvienų metų pabaigoje 8 metų ji generuoja €11 500, o po to gali būti parduota už €8 000. Kapitalo kaina 12%. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
C0 = €80 000CF = €11 500S = €8 000n = 8r = 12%
NPV = €
4.NPV ir IRRSunkus
Projektas kainuoja €20 000 ir 1–2 metų pabaigoje duoda €13 000, €11 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −20 000CF1 = 13 000CF2 = 11 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Perkate obligaciją, iki kurios išpirkimo liko 4 metų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 6%), kai jos pajamingumas iki išpirkimo 5,5%. Po vienų metų, ką tik gavę pirmąjį kuponą, ją parduodate, kai pajamingumas iki išpirkimo 4,5%. Raskite savo laikymo laikotarpio grąžą HPR procentais.
F = €1 000kuponas = 6%n = 4y0 = 5,5%y1 = 4,5%
HPR = %
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominalioji vertė €1 000, moka 4,5% metinį kuponą ir išperkama po 4 metų. Pajamingumas iki išpirkimo 7%. Raskite Macaulay trukmę D metais.
F = €1 000kuponas = 4,5%n = 4YTM = 7%
D = metai
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonė turi €3 000 000 vertės nuosavą kapitalą ir €5 000 000 vertės skolą. Nuosavo kapitalo kaina – 13%, skolos kaina prieš mokesčius – 4%, mokesčio tarifas – 30%. Raskite WACC.
Įmonės nuosavo kapitalo rinkos vertė €12 000 000, o nuosavo kapitalo kaina 11%. Jos skolą sudaro 4 000 obligacijų (nominalioji vertė €1 000, metinis kuponas 7%, iki išpirkimo 11 metų), kurių kiekviena parduodama už €1 079. Mokesčio tarifas 25%. Raskite WACC, skolos kaina prieš mokesčius laikydami obligacijų pajamingumą iki išpirkimo.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 50, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 27,5?
μ = 50σ = 15x = 27,5
P =
11.TikimybėVidutinis
Keliais būdais N iš 10 žmonių grupės galima išrinkti 2 žmonių komisiją? Tvarka nesvarbi.
n = 10k = 2
N =
12.TikimybėSunkus
X turi parodytą skirstinį, o Y = 2X + 10. Raskite Y standartinį nuokrypį σY.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 2X + 10
σY =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,3050. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,3050
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad maišų masės pasiskirstę normaliai, vidurkis 250 g, standartinis nuokrypis 5 g. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 20 % reikšmių (20-asis procentilis).
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
Lyginamas dviejų telefonų modelių baterijos veikimo laikas. 1 modelis: 80 telefonų, vidurkis 52,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 10 h. 2 modelis: 30 telefonų, vidurkis 61,5 h, žinomas standartinis nuokrypis 3 h. Raskite μ₁ − μ₂ 95 % pasikliautinojo intervalo apatinį rėžį.
Populiacijos standartinis nuokrypis – 28. Kokio dydžio imties n reikia, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 4?
σ = 28E = 490%
n =
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 51,06, imties standartinis nuokrypis – 5. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 51,06s = 5n = 64
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 5. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 5E = 0,599%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Pateiktos jų sumos. Pagal šias sumas raskite Pirsono koreliacijos koeficientą r.
n = 6Σx = 21Σy = 374Σx² = 91Σy² = 24154Σxy = 1428
r =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Kuriai reikšmei x tiesė prognozuoja ŷ = 86?
n = 6ŷ = 86
x =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 10652 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Įprastojo anuiteto koeficientas
((1 + 0,08)14 − 1)/0,08 = 24,21
Išankstinis anuitetas
Kiekvienas įnašas investuotas vieneriais metais ilgiau.
FV = 5 000·24,21·1,08 = €130 760,57
Atsakymas
FV = €130 760,57
3.NPV ir IRR
Atsakymas: NPV = −19641 €
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(15%) = 0,00
NPV(20%) = −1 180,56
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
IRR ≈ 15 + 5·0,00/(0,00 − (−1 180,56)) = 15%
tiksliai: NPV(15%) = 0 → IRR = 15%
Atsakymas
IRR = 15%
5.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: HPR = 8,227 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Trukmė: Macaulay trukmė yra svertinis vidutinis laikas, per kurį obligacija išmoka savo pinigų srautus, kai svoriai yra pinigų srautų dabartinės vertės: D = Σ t·PVₜ/P. Modifikuotoji trukmė D/(1 + y) įvertina kainos pokytį procentais, esant nedideliam pajamingumo pokyčiui: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
t = 1: 45/1,07 = 42,06, t·PV = 42,06
t = 2: 45/1,145 = 39,30, t·PV = 78,61
t = 3: 45/1,225 = 36,73, t·PV = 110,20
t = 4: 1045/1,311 = 797,23, t·PV = 3 188,90
Trukmė
P = 915,32
D = 3 419,77/915,32 = 3,736
Atsakymas
D = 3,736 metai
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 6,625 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625
WACC
WACC = 0,375·13% + 0,625·4%·(1 − 0,3) = 6,625%
Atsakymas
WACC = 6,625%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 9,28 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = −1,5
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Atsakymas
P = 0,06681
11.Tikimybė
Atsakymas: N = 45
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Deriniai
C(10, 2) = (10·9)/(2·1) = 45
Atsakymas
N = 45
12.Tikimybė
Atsakymas: σY = 1,609
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
X sklaida
μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047
Tiesinis pokytis
σY = |2|·0,8047 = 1,609
Atsakymas
σY = 1,609
Vidurkis pasislenka: E(Y) = 2·0,95 + 10 = 11,9.
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 0,51
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,3050 = 0,6950
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,6950 ir nuskaitykite z.
z = 0,51
Atsakymas
z = 0,51
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 245,8 g
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Atgal į x
x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g
Atsakymas
x = 245,79 g
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −11,44 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Taškinis įvertis
x̄₁ − x̄₂ = 52,5 − 61,5 = −9
Standartinė paklaida
SE = √(10²/80 + 3²/30) = 1,245
Paklaidos riba
E = 1,96·1,245 = 2,44
Intervalas
−9 ± 2,44 → [−11,44, −6,56]
Atsakymas
apatinis rėžis = −11,44 h
Intervalas neapima 0, todėl vidurkiai reikšmingai skiriasi.
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 133
Vidurkio pasikliautinasis intervalas: x̄ ± paklaidos riba. Kai populiacijos σ žinomas, paklaidos riba yra z·σ/√n; kai žinomas tik imties standartinis nuokrypis s, naudokite t su n − 1 laisvės laipsniu: t·s/√n. Kritinės reikšmės: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Kad paklaidos riba būtų ne didesnė kaip E, reikia n ≥ (z·σ/E)², suapvalinus aukštyn.
Išreikškite n
n = (1,645·28/4)² = 132,6
Apvalinkite aukštyn
Imties dydis yra sveikasis skaičius, o apvalinant žemyn paklaidos riba būtų per didelė.
n = 133
Atsakymas
n = 133
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = 1,696
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 664
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (2,576·5/0,5)² = 663,6
Apvalinkite aukštyn
n = 664
Atsakymas
n = 664
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r = 0,9807
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Centruotos sumos
Sxy = 1428 − 21·374/6 = 119
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 24154 − 374²/6 = 841,3
Koreliacijos koeficientas
r = 119/√(17,5·841,3) = 0,9807
Atsakymas
r = 0,9807
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: x = 7,248
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 508/6 = 84,67
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 376
Regresijos tiesė
b = 376/70 = 5,371
a = 84,67 − 5,371·7 = 47,07
ŷ = 47,07 + 5,371·x
Išspręskite x atžvilgiu
x = (86 − 47,07)/5,371 = 7,248
Atsakymas
x = 7,248
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.