Po 8 metų jums reikės €15 000. Sąskaita moka 2 % per metus, palūkanas kapitalizuojant kas ketvirtį. Kiek turite įnešti šiandien? Raskite dabartinę vertę PV.
FV = €15 0002% / 4n = 8
PV = €
2.Pinigų vertė laikeSunkus
Kiekvieno mėnesio pabaigoje 21 metus atidedate €200. Sąskaita moka 3 % per metus, kapitalizuojant kas mėnesį. Kiek sutaupysite pabaigoje? Raskite FV.
A = €2003% / 12N = 252
FV = €
3.NPV ir IRRVidutinis
€45 000 investicija 1–4 metų pabaigoje duoda tokius pinigų srautus: €17 000, €16 000, €18 000, €20 000. Kapitalo kaina – 5 %. Raskite grynąją dabartinę vertę NPV.
Projektas kainuoja €50 000 ir 1–3 metų pabaigoje duoda €20 500, €30 500, €28 500. Raskite jo vidinę grąžos normą IRR procentais.
CF0 = −50 000CF1 = 20 500CF2 = 30 500CF3 = 28 500
IRR = %
5.Obligacijų kaina ir pajamingumasVidutinis
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000, moka 5% metinį kuponą dviem pusmetinėmis išmokomis; iki išpirkimo liko 10 metų. Pajamingumas iki išpirkimo – 3% per metus. Raskite obligacijos kainą P.
F = €1 000kuponas = 5%YTM = 3%n = 10
P = €
6.Obligacijų kaina ir pajamingumasSunkus
Obligacija, kurios nominali vertė €1 000 ir metinis kuponas 4%, išperkama po 9 metų ir parduodama už €835. Raskite jos pajamingumą iki išpirkimo YTM procentais.
F = €1 000kuponas = 4%n = 9P = €835
YTM = %
7.CAPM ir WACCVidutinis
Įmonės nuosavas kapitalas vertas €4 000 000, o skola – €4 000 000. Jos WACC 6,66%, skolos kaina prieš mokesčius 6%, o mokesčio tarifas 28%. Raskite nuosavo kapitalo kainą re.
Įmonė turi 1 000 000 akcijų po €34,50 ir 10 000 obligacijų, kurių kiekvienos rinkos kaina €960. Skolos kaina prieš mokesčius – 5%, mokesčio tarifas – 20%. Akcijos beta koeficientas – 1,2, nerizikinga palūkanų norma – 2,5%, rinkos grąža – 8,5%. Raskite WACC.
Dydis pasiskirstęs normaliai, vidurkis 60, standartinis nuokrypis 15. Kokia reikšmių dalis P yra mažesnė už 78,75?
μ = 60σ = 15x = 78,75
P =
11.TikimybėVidutinis
Parodytam skirstiniui raskite X dispersiją Var(X).
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,1, 0,3
Var(X) =
12.TikimybėSunkus
Tikrinami 8 komponentai, kiekvienas sugenda nepriklausomai su tikimybe 0,4. Kokia tikimybė P, kad suges daugiausia vienas?
n = 8p = 0,4
P =
13.Normalusis skirstinysVidutinis
Nuvilkite z, kad nuspalvintas plotas po standartine normaliąja kreive, dešinėje nuo z, būtų 0,0233. Raskite z dviejų ženklų po kablelio tikslumu.
A = 0,0233
z =
14.Normalusis skirstinysSunkus
Tarkime, kad suaugusių vyrų ūgiai pasiskirstę normaliai, vidurkis 178 cm, standartinis nuokrypis 7 cm. Raskite reikšmę x, už kurią mažesnės yra 90 % reikšmių (90-asis procentilis).
μ = 178σ = 7P = 90%
x = cm
15.Pasikliautinieji intervalaiVidutinis
10 pacientų kraujospūdis išmatuojamas prieš gydymą ir po jo. Skirtumų d = prieš − po (mmHg) vidurkis −2,8, o standartinis nuokrypis 7,6. Raskite vidutinio skirtumo 99 % pasikliautinojo intervalo paklaidos ribą E.
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiVidutinis
64 studentų imties vidutinis rezultatas – 118,5, imties standartinis nuokrypis – 4. Raskite testo statistiką t hipotezei H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 118,5s = 4n = 64
t =
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalaiSunkus
Kokia didelė turi būti imtis, kad vidurkio 90 % pasikliautinojo intervalo paklaidos riba būtų ne didesnė kaip 0,5? Standartinis nuokrypis – 8. Raskite mažiausią imties dydį n.
σ = 8E = 0,590%
n =
19.Tiesinė regresija ir koreliacijaVidutinis
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = automobilio amžius metais ir y = kaina k€. Raskite mažiausiųjų kvadratų tiesės determinacijos koeficientą r².
n = 6
r² =
20.Tiesinė regresija ir koreliacijaSunkus
Lentelėje pateikta 6 porinių stebėjimų: x = mokymosi valandos ir y = egzamino rezultatas. Naudokite mažiausiųjų kvadratų tiesę ŷ = a + b·x. Gautas naujas stebėjimas (3,5, 61). Raskite jo liekaną e = y − ŷ.
n = 6(3,5, 61)
e =
3Tirpalai
1.Pinigų vertė laike
Atsakymas: PV = 12787 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Norma ir laikotarpių skaičius
i = 0,02/4 = 0,005
N = 4·8 = 32
Dabartinė vertė
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,173 = €12 787,25
Atsakymas
PV = €12 787,25
2.Pinigų vertė laike
Atsakymas: FV = 70091 €
Pinigų vertė laike: pinigai šiandien vertesni už tą pačią sumą vėliau, nes gali uždirbti palūkanų. Esant palūkanų normai i per laikotarpį, suma auga pagal FV = PV·(1 + i)n. Lygių įmokų seka (anuitetas) vertinama sudedant kiekvieną įmoką, iš to gaunamos anuiteto formulės.
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Kiekvieno pinigų srauto dabartinė vertė
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,05)1 = 17 000/1,05 = 16 190,48
CF2/(1 + 0,05)2 = 16 000/1,103 = 14 512,47
CF3/(1 + 0,05)3 = 18 000/1,158 = 15 549,08
CF4/(1 + 0,05)4 = 20 000/1,216 = 16 454,05
Sudėkite
NPV = €17 706,07
Atsakymas
NPV = €17 706,07
NPV teigiama, todėl projektas uždirba daugiau nei reikalaujama grąža.
4.NPV ir IRR
Atsakymas: IRR = 25,65 %
Grynoji dabartinė vertė: kiekvieną pinigų srautą diskontuokite iki šiandien taikydami reikalaujamą grąžos normą r ir sudėkite: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Projektas, kurio NPV > 0, uždirba daugiau nei r ir kuria vertę. Vidinė grąžos norma (IRR) – norma, kuriai esant NPV = 0.
Apribokite IRR iš abiejų pusių
Didėjant normai NPV mažėja, todėl IRR yra tarp normos su teigiama ir normos su neigiama NPV.
NPV(25%) = 512,00
NPV(30%) = −3 211,20
Siaurinkite
Tiesinė interpoliacija duoda pirmąjį įvertį; ją kartojant (arba naudojant skaičiuotuvo IRR funkciją) gaunama tiksli norma.
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Vienam laikotarpiui
C = €25,00, i = 0,015, N = 20
Kuponų dabartinė vertė
€25,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €429,22
Nominalios vertės dabartinė vertė
€1 000·0,7425 = €742,47
Kaina
P = €1 171,69
Atsakymas
P = €1 171,69
Pajamingumas mažesnis už kupono normą, todėl obligacija parduodama su premija.
6.Obligacijų kaina ir pajamingumas
Atsakymas: YTM = 6,476 %
Obligacijos kaina: obligacijos kaina – tai jos pinigų srautų dabartinė vertė, diskontuota pajamingumu iki išpirkimo (YTM): kuponai sudaro anuitetą, o nominali vertė grąžinama išpirkimo dieną. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Kai pajamingumas didesnis už kupono normą, obligacija prekiaujama žemiau nominalios vertės, ir atvirkščiai.
Pajamingumo lygtis
€835 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Skaitinis sprendimas
P(6%) = €863,97, P(7%) = €804,54
YTM = 6,476%
Atsakymas
YTM = 6,476%
7.CAPM ir WACC
Atsakymas: re = 9 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Svoriai
V = €8 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC skolos dalis
0,5·6%·(1 − 0,28) = 2,16%
Nuosavo kapitalo kaina
re = (6,66% − 2,16%)/0,5 = 9%
Atsakymas
re = 9%
8.CAPM ir WACC
Atsakymas: WACC = 8,459 %
Kapitalo kaina: CAPM parodo akcininkų reikalaujamą grąžą: re = rf + β·(rm − rf). Vidutinė svertinė kapitalo kaina sujungia nuosavą ir skolintą kapitalą pagal jų rinkos vertes: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), kur V = E + D. Palūkanos mažina apmokestinamąjį pelną, todėl atsiranda daugiklis (1 − T).
Rinkos vertės
E = 1 000 000·€34,50 = €34 500 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
Nuosavo kapitalo kaina (CAPM)
re = 2,5% + 1,2·6% = 9,7%
Svoriai
V = €44 100 000, E/V = 0,7823, D/V = 0,2177
WACC
WACC = 0,7823·9,7% + 0,2177·5%·(1 − 0,2) = 8,459%
Atsakymas
WACC = 8,459%
9.Aprašomoji statistika
Atsakymas: s = 13,61
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Aprašomoji statistika: vidurkis – suma, padalyta iš n; mediana – surikiuotų duomenų vidurinė reikšmė (kai n lyginis – dviejų vidurinių vidurkis). Imties standartinis nuokrypis s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z įvertis z = (x − μ)/σ parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio.
Standartizuokite
z = 1,25
Standartinio normaliojo skirstinio lentelė
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Atsakymas
P = 0,8944
11.Tikimybė
Atsakymas: Var(X) = 5,39
Diskretieji atsitiktiniai dydžiai: tikimybių skirstinys išvardija kiekvieną reikšmę x, kurią dydis gali įgyti, su jos tikimybe p(x); tikimybės yra tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. Laukiamoji vertė (vidurkis) yra E(X) = Σx·p(x), ilgalaikis vidurkis. Dispersija yra Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², o standartinis nuokrypis σ = √Var(X). Tiesiniam pokyčiui Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ir σY = |a|·σX; konstantos pridėjimas sklaidos nekeičia.
Vidurkis
μ = 0·0,25 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,3 = 2,9
Kvadratų vidurkis
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,3 = 13,8
Dispersija
Var(X) = 13,8 − 2,9² = 5,39
Atsakymas
Var(X) = 5,39
12.Tikimybė
Atsakymas: P = 0,1064
Tikimybės: kai baigtys vienodai tikėtinos, P(A) = palankios/visos. Nepriklausomų įvykių tikimybės dauginamos: P(A ir B) = P(A)·P(B). Dažnai padeda priešingas įvykis: P(bent vienas) = 1 − P(nė vieno). Binominis skirstinys: n nepriklausomų bandymų su sėkmės tikimybe p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nulis ir vienas gedimas
P(X = 0) = 0,68 = 0,0168
P(X = 1) = 8·0,4·0,67 = 0,08958
Sudėkite
P = 0,0168 + 0,08958 = 0,1064
Atsakymas
P = 0,1064
13.Normalusis skirstinys
Atsakymas: z = 1,99
Nuo ploto atgal prie z: Φ(z) yra plotas kairėje nuo z. Kairiosios uodegos plotui A lentelėje raskite z, kai Φ(z) = A. Dešiniosios uodegos plotas A reiškia Φ(z) = 1 − A. Centrinis plotas A tarp −z ir z palieka (1 − A)/2 kiekvienoje uodegoje, taigi Φ(z) = (1 + A)/2. Reikšmei x naudokite x = μ + zσ.
Plotas kairėje nuo z
Φ(z) = 1 − 0,0233 = 0,9767
Skaitykite z lentelę atvirkščiai
Lentelėje suraskite 0,9767 ir nuskaitykite z.
z = 1,99
Atsakymas
z = 1,99
14.Normalusis skirstinys
Atsakymas: x = 187 cm
Normalusis skirstinys: reikšmę x paverskite z įverčiu z = (x − μ)/σ, kuris parodo, per kiek standartinių nuokrypių reikšmė nutolusi nuo vidurkio. z lentelė (arba Φ(z)) duoda plotą į kairę nuo z, t. y. P(X < x). Plotas į dešinę lygus 1 − Φ(z), o plotas tarp dviejų reikšmių – jų plotų skirtumui.
Procentilio z
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Atgal į x
x = 178 + 1,282·7 = 186,97 cm
Atsakymas
x = 186,97 cm
15.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: E = 7,811 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritinė reikšmė
df = 9, t = 3,25
Paklaidos riba
E = 3,25·7,6/√10 = 7,811
Atsakymas
E = 7,811 mmHg
16.Pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: apatinis rėžis = −7,956 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Jungtinis standartinis nuokrypis
sp² = (4·8² + 20·6,5²)/24 = 45,88
sp = 6,773
Paklaidos riba
E = 2,064·6,773·√(1/5 + 1/21) = 6,956
Intervalas
−1 ± 6,956 → [−7,956, 5,956]
Atsakymas
apatinis rėžis = −7,956 kg
17.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: t = −3
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
18.Hipotezių tikrinimas ir pasikliautinieji intervalai
Atsakymas: n = 693
Vidurkio tikrinimas: testo statistika parodo, per kiek standartinių paklaidų imties vidurkis nutolęs nuo H₀ teigiamos reikšmės: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), kai σ žinomas, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), kai jis vertinamas iš imties. Pasikliautinasis intervalas yra x̄ ± (kritinė reikšmė)·(standartinė paklaida).
Išreikškite n
n = (1,645·8/0,5)² = 692,7
Apvalinkite aukštyn
n = 693
Atsakymas
n = 693
19.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: r² = 0,9115
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 115/6 = 19,17
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 102,8
Determinacijos koeficientas
r² = −40,5²/(17,5·102,8) = 0,9115
Atsakymas
r² = 0,9115
Apie 91,15% y kitimo paaiškinama tiese.
20.Tiesinė regresija ir koreliacija
Atsakymas: e = −3
Mažiausiųjų kvadratų regresija: kai x̄ ir ȳ – vidurkiai, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ir Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), tiesės ŷ = a + b·x krypties koeficientas b = Sxy/Sxx, o laisvasis narys a = ȳ − b·x̄, todėl ji visada eina per tašką (x̄, ȳ). Pirsono koreliacijos koeficientas r = Sxy/√(Sxx·Syy) yra tarp −1 ir 1; r² – tiese paaiškinama y kitimo dalis.
Vidurkiai
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 384/6 = 64
Kvadratų ir sandaugų sumos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99
Regresijos tiesė
b = 99/17,5 = 5,657
a = 64 − 5,657·3,5 = 44,2
ŷ = 44,2 + 5,657·x
Prognozuojama reikšmė
ŷ = 44,2 + 5,657·3,5 = 64
Liekana
e = 61 − 64 = −3
Atsakymas
e = −3
Taškas yra po tiese.
Tai savarankiška mokymosi medžiaga. ExamProblems nėra susijusi su šį egzaminą organizuojančia institucija ir jos nėra patvirtinta, o egzamino pavadinimas naudojamas tik turiniui apibūdinti. CFA® and Chartered Financial Analyst® yra CFA Institute prekių ženklai; ši organizacija nėra susijusi su ExamProblems, jo neremia ir neatsako už jo tikslumą.