Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 16 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Algebrinė forma: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulis ir argumentas: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polinė ir rodiklinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Dalyba: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Sandauga ir dalmuo: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
Muavras: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-tojo laipsnio šaknys: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kvadratinė lygtis, kai p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Metodas

Nuspręskite, kokia forma tinka veiksmui: algebrinė a + jb sudėčiai ir atimčiai, polinė r∠θ daugybai, dalybai, laipsniams ir šaknims.
Dauginkite išskleisdami su j² = −1; dalykite padaugindami skaitiklį ir vardiklį iš vardiklio jungtinio.
Konvertuokite pagal r = √(a² + b²) ir θ iš taško (a, b) brėžinio (patikrinkite ketvirtį), o atgal – pagal a = r cos θ, b = r sin θ.
Laipsniams naudokite Muavro formulę, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; zⁿ = R∠φ išvardykite visas n šaknų R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Pilnutinės varžos: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kampinis dažnis: ω = 2πf
Modulis ir kampas: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Omo dėsnis fazoriams: V = I·Z

Metodas

Perskaičiuokite dažnį: ω = 2πf.
Raskite kiekvieną reaktansą: X_L = ωL ir X_C = 1/(ωC).
Impedansus sudėkite kaip rezistorius, kai Z = R + jX.
Raskite modulį |Z| = √(R² + X²) ir kampą φ = atan(X/R), tada taikykite Omo dėsnį fazoriams.

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Aktyvioji galia: P = V·I·cos φ
Reaktyvioji galia: Q = V·I·sin φ
Pilnutinė galia: S = V·I = √(P² + Q²)
Galios koeficientas: pf = cos φ = P/S
Kompensacinis kondensatorius: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Savasis dažnis: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energija: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Didžiausia srovė: I_max = V₀√(C/L)
Kokybės faktorius: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Nuoseklusis RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Lygiagretusis RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Juostos plotis: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Pusinės galios dažniai: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Virpesių kontūras su ritės varža r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Amplitudės slopimas: e^−Rt/(2L)

Metodas

Pirmiausia raskite rezonansinį dažnį: ω₀ = 1/√(LC) ir f₀ = ω₀/(2π).
Nuspręskite, ar grandinė nuosekliojo, ar lygiagrečiojo jungimo: nuosekliojo Q = (1/R)√(L/C), lygiagrečiojo Q = R√(C/L).
Juostos plotį skaičiuokite BW = f₀/Q arba trumpesnėmis formulėmis R/(2πL) (nuoseklusis) ir 1/(2πRC) (lygiagretusis).
Energijos uždaviniuose naudokite tai, kad idealioje LC grandinėje visa energija ½CV₀² išlieka pastovi ir kas ketvirtį periodo persikelia tarp C ir L.

Trifazė galia

Žvaigždės (Y) jungimas: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Trikampio (Δ) jungimas: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Bendra aktyvioji galia: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Pilnutinė ir reaktyvioji galia: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensavimo kondensatoriai: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Įtampa ant kiekvieno kondensatoriaus: Δ: V_L Y: V_L/√3
Variklio naudojama galia: P_in = P_out/η

RC ir RL pereinamieji procesai

Laiko konstanta: τ = RC | τ = L/R
Atsakas: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensatorius esant nuolatinei srovei: atvira grandinė; v_C negali kisti šuoliu
Ritė esant nuolatinei srovei: trumpasis jungimas; i_L negali kisti šuoliu
Nusistovėjęs režimas: t ≈ 5τ

Metodas

Raskite pradinę vertę iškart po perjungimo: kondensatoriaus įtampa ir ritės srovė negali kisti šuoliu.
Raskite galutinę vertę praėjus ilgam laikui po perjungimo: kondensatorius veikia kaip atvira grandinė, ritė – kaip trumpasis jungimas.
Raskite laiko konstantą: τ = RC arba τ = L/R, naudodami varžą, kurią „mato“ kondensatorius ar ritė.
Naudokite x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Teveninas ir Nortonas

Tevenino įtampa: V_th = V_{open circuit}
Tevenino varža: R_th: visi šaltiniai išjungti, žiūrint iš a–b
Nortono srovė: I_N = V_th/R_th
Apkrovos srovė: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Didžiausios galios perdavimas: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Metodas

Atjunkite apkrovą ir pažymėkite abu gnybtus a ir b.
Raskite tuščiosios veikos įtampą tarp a ir b: tai V_th.
Išjunkite visus nepriklausomus šaltinius ir raskite varžą, matomą iš a–b: tai R_th.
Grąžinkite apkrovą į ekvivalentinę grandinę: V_th nuosekliai su R_th.
Nortono ekvivalentui perskaičiuokite: I_N = V_th/R_th, o R_N = R_th lygiagrečiai.

2Uždaviniai

1.Kompleksiniai skaičiaiVidutinis

Kai z₁ = 1,5∠−60° ir z₂ = 0,5∠−25°, raskite w = z₁·z₂ realiąją dalį.

z₁ = 1,5∠−60°z₂ = 0,5∠−25°

Re(w) =

2.Kompleksiniai skaičiaiSunkus

Naudodami Muavro teoremą, raskite z⁹ realiąją dalį, kai z = 2 + j2.

z = 2 + j2n = 9

Re(z⁹) =

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiVidutinis

Nuosekli RLC grandinė, kurios L = 1 mH, turi rezonuoti esant 60 Hz. Raskite reikiamą talpą C.

f₀ = 60 HzL = 1 mH

C = µF

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriaiSunkus

Nuosekli RLC grandinė maitinama 24 V (efektinė) šaltiniu, kurio dažnis nustatytas lygus grandinės rezonansiniam dažniui. Raskite efektinę įtampą V_L ant ritės.

V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 20 mHC = 10 µF

V_L = V

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasVidutinis

Dvi apkrovos lygiagrečiai prijungtos prie 240 V vienfazio tinklo: 29 kW apkrova, kurios galios koeficientas 0,6 (induktyvus), ir 24 kW šildytuvas (galios koeficientas lygus vienetui). Raskite bendrą iš tinklo imamą srovę I.

V = 240 VP₁ = 29 kW, pf₁ = 0,6 induktyvusP₂ = 24 kW, pf₂ = 1

I = A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientasSunkus

Vienfazė apkrova iš 230 V, 50 Hz tinklo ima 4 kW, kai galios koeficientas 0,65 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungiamas 33 µF kondensatorius. Raskite naują tinklo matomą galios koeficientą cos φ.

P = 4 kWpf₁ = 0,65V = 230 Vf = 50 HzC = 33 µF

cos φ =

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisVidutinis

Lygiagrečiojo RLC grandinės R = 47 kΩ, L = 22 mH ir C = 220 pF. Raskite jos kokybės faktorių Q.

R = 47 kΩL = 22 mHC = 220 pF

Q =

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotisSunkus

Nuosekliajame rezonansiniame kontūre naudojama 10 mH induktyvumo ritė. Kokia bendra nuoseklioji varža R duoda 10 kHz juostos plotį?

L = 10 mHBW = 10 kHz

R = Ω

9.Trifazė galiaVidutinis

Trifazis asinchroninis variklis esant vardinei apkrovai tiekia 75 kW mechaninės galios. Esant šiai apkrovai jo naudingumo koeficientas 88%, o galios koeficientas 0,82 (induktyvus). Tinklo linijinė įtampa 480 V. Raskite linijinę srovę I_L.

P_out = 75 kWη = 88%cos φ = 0,82V_L = 480 V

I_L = A

10.Trifazė galiaSunkus

Simetrinė trifazė apkrova iš 480 V (linijinė įtampa), 60 Hz tinklo ima 120 kW, kai galios koeficientas 0,7 (induktyvus). Lygiagrečiai apkrovai prijungta trifazė kondensatorių baterija turi padidinti bendrą galios koeficientą iki 0,98 (induktyvus). Aktyvioji galia nekinta. Kondensatoriai sujungti trikampiu. Raskite kiekvieno kondensatoriaus talpą C_ph µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC ir RL pereinamieji procesaiVidutinis

Kol jungiklis neužsidarė momentu t = 0, rite srovė neteka. Po kiek laiko nuo jungiklio užsidarymo srovė pasiekia 90% galutinės vertės? Raskite t.

V_s = 20 VR = 20 ΩL = 33 mH

t = ms

12.RC ir RL pereinamieji procesaiSunkus

Jungiklis, lygiagretus R₂, ilgai buvo uždarytas, todėl ritės srovė nusistovėjusi. Momentu t = 0 jungiklis atsidaro. Po kiek laiko nuo t = 0 ritės srovė pasiekia 0,165 A? Raskite t.

V_s = 10 VR₁ = 47 ΩR₂ = 22 ΩL = 33 mH

t = ms

13.Teveninas ir NortonasVidutinis

Raskite Nortono srovę I_N: srovę, tekančią iš a į b, kai gnybtai sujungti trumpai.

V₁ = 9 VR₁ = 2 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 Ω

I_N = A

14.Teveninas ir NortonasSunkus

Raskite Tevenino įtampą V_th, matomą iš gnybtų a–b.

V₁ = 5 VI_s = 6 AR₁ = 3 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 Ω

V_th = V

15.Bode grafikai ir atsargosVidutinis

Parodytas RL aukštųjų dažnių filtras turi R = 100 Ω, L = 100 mH. Taikoma sinusinė įvestis 80 Hz. Raskite stiprinimą |H| = |v_out/v_in| dB.

R = 100 ΩL = 100 mHf = 80 Hz

|H| = dB

16.Bode grafikai ir atsargosSunkus

Vienetinio grįžtamojo ryšio kilpos atvirosios kilpos perdavimo funkcija yra L(s) = 220/(s(s + 10)). Raskite fazės atsargą PM laipsniais.

L(s) = 220/(s(s + 10))

PM = °

3Tirpalai

1.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: Re(w) = 0,06537

Polinė forma: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, kur r = |z| ir θ = arg z. Atgal į algebrinę formą: a = r cos θ, b = r sin θ. Argumentui reikia ketvirčio: θ = atan(b/a) tik kai a > 0; kai a < 0, pridėkite arba atimkite 180°. Polinėje formoje daugyba paprasta: modulius sudauginkite ir argumentus sudėkite; dalydami modulius padalykite, o argumentus atimkite.

w modulis ir argumentas

|w| = 1,5 · 0,5 = 0,75

θ = −60° + (−25)° = −85°

Algebrinė forma

Re(w) = 0,75·cos(−85°) = 0,06537

Im(w) = 0,75·sin(−85°) = −0,7471

Re(w) = 0,06537

Atsakymas

Re(w) = 0,06537

2.Kompleksiniai skaičiai

Atsakymas: Re(z⁹) = 8192

Muavro formulė ir šaknys: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Lygtis zⁿ = R∠φ turi lygiai n šaknų, visų modulis R^1/n, o argumentai (φ + 360°·k)/n, kai k = 0, 1, …, n − 1: jos tolygiai išsidėsčiusios apskritime, 360°/n atstumu viena nuo kitos. Kvadratinė lygtis z² + pz + q = 0, kai p² < 4q, turi kompleksines šaknis z = −p/2 ± j√(q − p²/4); daugianaris su realiais koeficientais kompleksines šaknis visada turi jungtinėmis poromis a ± jb.

Polinė forma

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

Muavras

z⁹ = (2√2)⁹∠405° = 11585∠45°

Algebrinė forma

z⁹ = 11585·(cos 45° + j sin 45°) = 8192 + j8192

Re(z⁹) = 8192

Atsakymas

Re(z⁹) = 8192

3.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: C = 7036 µF

Kintamosios srovės grandinės ir fazoriai: rezistorių, ričių ir kondensatorių pilnutinės varžos yra R, jωL ir 1/(jωC), kur ω = 2πf. Nuosekliai pilnutinės varžos sumuojamos kaip varžos, tik kompleksiniais skaičiais. Efektinės srovė ir įtampa tenkina Omo dėsnį su |Z|.

Rezonanso sąlyga

Rezonanso metu induktyvioji ir talpinė reaktyviosios varžos susiprastina: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,001) = 7036 µF

Atsakymas

C = 7036 µF

4.Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Atsakymas: V_L = 214,7 V

Rezonansas

Rezonanso metu reaktyviosios varžos susiprastina, todėl pilnutinė varža lygi tik R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·10·10⁻⁶) = 2236 rad/s

I = V/R = 24/5 = 4,8 A

Įtampa ant ritės

X_L = ω₀L = 2236·0,02 = 44,72 Ω

V_L = I·X_L = 4,8·44,72 = 214,7 V

Atsakymas

V_L = 214,7 V

Tai Q = 8,944 kartų didesnė už maitinimo įtampą.

5.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: I = 273,4 A

Kintamosios srovės galia: pilnutinė galia S = V·I (VA) skyla į aktyviąją galią P = S·cos φ (W), atliekančią naudingą darbą, ir reaktyviąją galią Q = S·sin φ (var), kuri svyruoja tarp šaltinio ir apkrovos. Galios koeficientas yra cos φ. Lygiagretus kondensatorius reaktyviąją galią tiekia vietoje, todėl esant tai pačiai aktyviajai galiai linijos srovė sumažėja.

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Induktyvioji apkrova reaktyviąją galią ima (Q > 0); talpinė ją tiekia (Q < 0).

Q₁ = 29·tan(arccos 0,6) = 38,67 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

Sumos

P = 29 + 24 = 53 kW

Q = 38,67 + 0 = 38,67 kvar

S = √(53² + 38,67²) = 65,61 kVA

Bendra srovė

I = S/V = 65606/240 = 273,4 A

Atsakymas

I = 273,4 A

6.Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

Atsakymas: cos φ = 0,6959

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia P nesikeičia; keičiasi tik iš tinklo imama reaktyvioji galia.

Q₁ = 4·tan(arccos 0,65) = 4,677 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 230²·2π·50·33·10⁻⁶ = 548,4 var = 0,5484 kvar

Q₂ = 4,677 − 0,5484 = 4,128 kvar

Nauja pilnutinė galia

S₂ = √(4² + 4,128²) = 5,748 kVA

Naujas galios koeficientas

cos φ = P/S₂ = 4/5,748 = 0,6959

Atsakymas

cos φ = 0,6959

7.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: Q = 4,7

Kokybės faktorius ir juostos plotis: rezonansinėje grandinėje Q = 2π·(sukaupta energija)/(per ciklą prarasta energija). Nuosekliajam RLC Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); lygiagrečiajam RLC Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Juostos plotis tarp pusinės galios dažnių f₁ ir f₂ (kuriuos esant galia yra perpus mažesnė, o srovė ar įtampa – 1/√2 didžiausios vertės) yra BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, t. y. R/(2πL) nuosekliajame ir 1/(2πRC) lygiagrečiajame jungime. Rezonansinis dažnis yra geometrinis vidurkis f₀ = √(f₁f₂), o f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Nuostoliai taip pat slopina virpesius: nuosekliajame RLC amplitudė mažėja kaip e^−Rt/(2L).

Rezonansinis dažnis

ω₀ = 1/√(LC) = 454545 rad/s

Kokybės faktorius

Q = R/(ω₀L) = 47000/(454545·0,022) = 4,7

Atsakymas

Q = 4,7

Juostos plotis yra 1/(2πRC) = 15,39 kHz.

8.LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Atsakymas: R = 628,3 Ω

Nuosekliojo kontūro juostos plotis

BW = R/(2πL)

Varža

R = 2π·0,01·10000 = 628,3 Ω

Atsakymas

R = 628,3 Ω

9.Trifazė galia

Atsakymas: I_L = 125 A

Naudojama elektrinė galia

P_in = P_out/η = 75/0,88 = 85,23 kW

Linijos srovė

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 85227/(√3·480·0,82) = 125 A

Atsakymas

I_L = 125 A

10.Trifazė galia

Atsakymas: C_ph = 376,3 µF

Simetrinės trifazės sistemos: jungiant žvaigžde (Y) linijinė įtampa √3 karto didesnė už fazinę, V_L = √3·V_ph, o linijinė srovė lygi fazinei. Jungiant trikampiu (Δ) linijinė įtampa lygi fazinei, o linijinė srovė √3 karto didesnė už fazinę, I_L = √3·I_ph. Bendra galia tris kartus didesnė už vienos fazės galią: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Galios koeficiento gerinimas: kondensatoriai reaktyviąją galią tiekia vietoje, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Kiekvienas iš trijų kondensatorių tiekia Q_C/3 = V²·ω·C, kur V – įtampa ant to kondensatoriaus: trikampiu sujungtoje baterijoje V_L, žvaigžde sujungtoje – V_L/√3.

Reaktyvioji galia prieš ir po

Aktyvioji galia nekinta, todėl kiekvienas galios koeficientas nulemia reaktyviąją galią: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,7) = 120·1,02 = 122,4 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,98) = 120·0,2031 = 24,37 kvar

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Q_C = Q₁ − Q₂ = 98,06 kvar

Vienos fazės talpa

Trikampiu sujungtoje baterijoje kiekvienas kondensatorius prijungtas tarp dviejų linijų.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 32686/(377·480²) = 376,3 µF

Atsakymas

C_ph = 376,3 µF

11.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 3,799 ms

Pirmos eilės pereinamieji procesai: grandinėje su vienu kondensatoriumi arba viena rite kiekviena įtampa ir srovė eksponentiškai kinta nuo pradinės iki galutinės vertės: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, kur τ = RC arba τ = L/R. Po maždaug 5τ grandinė nusistovi.

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Ilgai po jungiklio užsidarymo ritė elgiasi kaip trumpasis jungimas, todėl galutinę srovę lemia tik R.

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

i(∞) = V_s/R = 20/20 = 1 A

Išreiškite laiką

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −1,65·ln(0,1) = 3,799 ms

Atsakymas

t = 3,799 ms

12.RC ir RL pereinamieji procesai

Atsakymas: t = 0,5824 ms

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Iki t = 0 uždarytas jungiklis apeina R₂; po to kontūre yra ir R₁, ir R₂.

i(0) = 10/47 = 0,2128 A

i(∞) = 10/(47 + 22) = 0,1449 A

τ = L/R = 33/69 = 0,4783 ms

i(t) = 0,1449 + (0,2128 − 0,1449)·e^−t/τ

Išreiškite laiką

e^−t/τ = (0,165 − 0,1449)/(0,2128 − 0,1449) = 0,2959

t = 0,4783·ln(3,38) = 0,5824 ms

Atsakymas

t = 0,5824 ms

13.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: I_N = 0,7941 A

Tevenino teorema: bet kuris tiesinis dvipolis tinklas elgiasi kaip vienas įtampos šaltinis V_th, nuosekliai sujungtas su varža R_th. Nortono teorema tą patį tinklą pateikia kaip srovės šaltinį I_N = V_th/R_th, lygiagretų su R_th.

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 2·12/(2+12) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 8 = 9,714 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, per R₃ srovė neteka, todėl ant jo nėra įtampos kritimo ir V_b = V_A. R₁ ir R₂ sudaro įtampos daliklį.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·12/(2+12) = 7,714 V

Nortono ekvivalentas

Nortono šaltinis – ta pati grandinė, matoma kaip srovės šaltinis lygiagrečiai su R_th. Jo srovė yra trumpojo jungimo srovė tarp a–b.

I_N = V_th/R_th = 7,714/9,714 = 0,7941 A

14.Teveninas ir Nortonas

Atsakymas: V_th = 85,14 V

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Įtampos šaltinius pakeiskite trumpaisiais jungimais, srovės šaltinius – atvira grandine, tada žiūrėkite į grandinę iš a–b.

R₁ ∥ R₂ = 3·4/(3+4) = 1,714 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,714 + 12 = 13,71 Ω

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Kai a–b atviri, vienintelis kelias Iₛ yra per R₃ į mazgą A. Raskite V_A superpozicija iš V₁ ir Iₛ, tada pridėkite įtampos kritimą ant R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,857 + 6·1,714 = 13,14 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 13,14 + 6·12 = 85,14 V

15.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: |H| = −6,953 dB

Dažninė charakteristika: perdavimo funkcijoje įrašykite s = jω. Modulis decibelais yra 20·log₁₀|H(jω)|, o fazė yra skaitiklio dauginamųjų kampų suma minus vardiklio dauginamųjų kampų suma. Pirmos eilės RC ar RL filtras turi lūžio (−3 dB) dažnį ω_c = 1/(RC) arba R/L, o f_c = ω_c/(2π); žemųjų dažnių filtras duoda |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) ir φ = −atan(ω/ω_c). Asimptotiniame (tiesių atkarpų) Bode grafike kiekvienas polius sulenkia modulį žemyn 20 dB/dekadai ties savo lūžio dažniu, kiekvienas nulis sulenkia jį aukštyn 20 dB/dekadai, o integratorius 1/s visais dažniais duoda −20 dB/dekadai. Stiprinimo kirtimo dažnis ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fazės atsarga PM = 180° + ∠L(jω_c). Fazės kirtimo dažnis ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; stiprinimo atsarga GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Uždaroji kilpa stabili, kai abi atsargos teigiamos.

Lūžio dažnis

ω_c = R/L = 100/0,1 = 1000 rad/s

f_c = 159,2 Hz → f/f_c = 80/159,2 = 0,5027

Stiprinimas

|H| = 0,5027/√(1 + 0,5027²) = 0,4491

20·log₁₀(0,4491) = −6,953 dB

Atsakymas

|H| = −6,953 dB

16.Bode grafikai ir atsargos

Atsakymas: PM = 37,04 °

Stiprinimo kirtimas

ω⁴ + 100ω² − 48400 = 0

ω² = (−100 + √(10000 + 4·48400))/2 = 175,6

ω_c = 13,25 rad/s

Fazės atsarga

∠L(jω_c) = −90° − atan(13,25/10) = −143°

PM = 180° + ∠L = 37,04°

Atsakymas

PM = 37,04°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Elektros grandinių teorija 2: kintamosios srovės grandinės: pasiruošimo paketas

1Formulės ir metodai

Kompleksiniai skaičiai

Metodas

Kintamosios srovės pilnutinė varža ir fazoriai

Metodas

Kintamosios srovės galia ir galios koeficientas

LC rezonansas, kokybės faktorius ir juostos plotis

Metodas

Trifazė galia

RC ir RL pereinamieji procesai

Metodas

Teveninas ir Nortonas

Metodas

2Uždaviniai

3Tirpalai

w modulis ir argumentas

Algebrinė forma

Atsakymas

Polinė forma

Muavras

Algebrinė forma

Atsakymas

Rezonanso sąlyga

Atsakymas

Rezonansas

Įtampa ant ritės

Atsakymas

Kiekvienos apkrovos reaktyvioji galia

Sumos

Bendra srovė

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Nauja pilnutinė galia

Naujas galios koeficientas

Atsakymas

Rezonansinis dažnis

Kokybės faktorius

Atsakymas

Nuosekliojo kontūro juostos plotis

Varža

Atsakymas

Naudojama elektrinė galia

Linijos srovė

Atsakymas

Reaktyvioji galia prieš ir po

Kondensatorių tiekiama reaktyvioji galia

Vienos fazės talpa

Atsakymas

Laiko konstanta ir galutinė srovė

Išreiškite laiką

Atsakymas

Pradinė vertė, galutinė vertė, laiko konstanta

Išreiškite laiką

Atsakymas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Nortono ekvivalentas

Raskite Rth, išjungę visus šaltinius

Raskite Vth – tuščiosios veikos įtampą

Lūžio dažnis

Stiprinimas

Atsakymas

Stiprinimo kirtimas

Fazės atsarga

Atsakymas

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą

Raskite R_th, išjungę visus šaltinius

Raskite V_th – tuščiosios veikos įtampą