Informatikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaičiavimo sistemos

Pozicijų vertės: dvejetainė 2^k, aštuntainė 8^k, šešioliktainė 16^k
Į dešimtainę: Σ d_k·b^k
Iš dešimtainės: dalykite iš pagrindo, liekanas skaitykite iš apačios į viršų
Šešioliktainė ↔ dvejetainė: vienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai
Papildomasis kodas: invertuokite bitus ir pridėkite 1

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Pagrindiniai elementai: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė: netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Trigeriai: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai: n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis: f_max = 1/(n·t_pd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai: n ir 2n būsenų

Metodas

Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

IPv4 potinkliai

Mazgai potinklyje: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Bloko dydis: 256 − (mask octet)
Tinklo adresas: IP AND kaukė
Transliacijos adresas: IP OR (NOT kaukė): visi mazgo bitai lygūs 1
Potinkliai iš n pasiskolintų bitų: 2ⁿ

2Uždaviniai

1.Skaičiavimo sistemosVidutinis

Nustatykite bitus, kad jie saugotų −56 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?

N = −568 bit

U =

2.Skaičiavimo sistemosSunkus

Nustatykite bitus pagal 8 bitų rezultatą 0111 1110 >> 2. Kokia rezultato reikšmė R dešimtainėje sistemoje?

0111 1110>> 2

R =

3.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Norite įrodyti (p ∧ r) → ¬q kontrapozicija. Kurią implikaciją įrodote vietoj jos? Spustelėkite ją.

(p ∧ r) → ¬q

1¬¬q → ¬(p ∧ r)
2¬(p ∧ r) → ¬¬q
3¬q → (p ∧ r)
4(p ∧ r) ∧ ¬¬q

4.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∀x (F(x) ∨ G(x)), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.

¬∀x (F(x) ∨ G(x))

1∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
2∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
3∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
4∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVidutinis

Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12) sandaugų sumos (SOP) formą. Kiek sandaugos narių N ji turi?

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12)

N =

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiSunkus

Funkcijai F(A, B, C, D) = Σm(5, 9, 13, 14) + d(3, 10), kur d žymi nesvarbias sąlygas, raskite esminių pagrindinių implikantų skaičių N.

F(A, B, C, D) = Σm(5, 9, 13, 14) + d(3, 10)

N =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite Oilerio funkciją φ(63), t. y. sveikųjų skaičių nuo 1 iki 63, tarpusavyje pirminių su 63, skaičių.

n = 63 = 3²·7

φ(63) =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

RSA raktas naudoja p = 41, q = 43 ir e = 17. Iššifruokite šifrogramą c = 848: raskite pranešimą m.

p = 41q = 43e = 17c = 848

m =

9.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris rikiavimo algoritmas yra stabilus?

AGreitasis rikiavimas (įprasta versija vietoje)
BRikiavimas krūva
CRikiavimas išrinkimu (įprasta versija)
DRikiavimas suliejimu

10.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kodėl bet kuriai palyginimais pagrįstai paieškai surikiuotame masyve blogiausiu atveju reikia Ω(log n) palyginimų?

ADvejetainė paieška yra vienintelis galimas algoritmas, ir jam reikia log₂ n palyginimų
BKiekvienas palyginimas trunka logaritminį laiką
CKiekvieną elementą reikia palyginti bent kartą
DSprendimų medžio su n galimų baigčių gylis turi būti bent log₂ n

11.Duomenų struktūrosVidutinis

AVL medžiai ir raudonai juodi medžiai garantuoja:

AKad raktai saugomi įterpimo tvarka
BKad nė vienas mazgas neturi dviejų vaikų
CPastovaus laiko paiešką bet kokiu atveju
DO(log n) aukštį perbalansavimo dėka

12.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri struktūra leidžia apskaičiuoti kiekvieno k dydžio masyvo lango maksimumą iš viso per O(n)?

ADekas, laikantis indeksus mažėjančia reikšmių tvarka
BKiekvienam langui iš naujo sudaroma min krūva
CLango elementų vienkrypčis susietasis sąrašas
DPastūmimais atnaujinamas surikiuotas masyvas

13.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 20 viršūnių ir 29 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 20|E| = 29

k =

14.Grafų teorijaSunkus

Primo algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį pradėdamas nuo viršūnės E. Spustelėkite briauną, kurią jis prideda kaip briauną numeris 2.

pradžia: Ek = 2

1briauna AB
2briauna AC
3briauna CE
4briauna DE
5briauna DF
6briauna EF
7briauna GC
8briauna GD
9briauna GE

15.Duomenų bazės ir SQLVidutinis

Kuri ACID savybė garantuoja, kad patvirtinti pakeitimai išliks po sistemos gedimo?

APatvarumas (durability)
BNuoseklumas (consistency)
CIzoliacija (isolation)
DAtomiškumas (atomicity)

16.Duomenų bazės ir SQLSunkus

Dvi transakcijos abi perskaito stock = 10, kiekviena atima 1 ir įrašo rezultatą, todėl gaunama 9, o ne 8. Kuri tai anomalija?

ATrynimo anomalija
BNešvarus skaitymas
CFantominis skaitymas
DPrarastas atnaujinimas

17.Kompiuterių tinklaiVidutinis

Kodėl komutatorius kartais siunčia kadrą per visus prievadus, išskyrus tą, per kurį jis atėjo?

AKadro IP kontrolinė suma neteisinga, todėl jį turi patikrinti kiekvienas mazgas
BKomutatorius veikia kaip maršrutizatorius
CPaskirties MAC adreso dar nėra jo adresų lentelėje
DKadras per didelis vienam prievadui

18.Kompiuterių tinklaiSunkus

Kodėl naršyklė įspėja, kai svetainė pateikia savarankiškai pasirašytą sertifikatą?

ASvetainė turi naudoti HTTP, o ne HTTPS
BJokia patikima sertifikavimo įstaiga nepatvirtina, kad raktas priklauso tai svetainei
CSavarankiškai pasirašyti sertifikatai visai nenaudoja šifravimo, todėl srautas siunčiamas atviru tekstu
DSertifikatas visada būna pasibaigęs

19.IPv4 potinkliaiVidutinis

Skyriui viename potinklyje reikia 486 mazgų adresų. Koks yra ilgiausias prefiksas p (mažiausias potinklis), kurio pakanka?

486 hosts

p =

20.IPv4 potinkliaiSunkus

Tinklas 192.168.194.0/24 VLSM būdu dalijamas šiems LAN: A: 10 mazgai, B: 51 mazgai, C: 109 mazgai, D: 4 mazgai. Potinkliai skiriami nuo .0 aukštyn, pirmiausia LAN su daugiausia mazgų, kiekvienam mažiausias tinkamas potinklis. Koks LAN A tinklo adreso ketvirtasis oktetas x?

A: 10B: 51C: 109D: 4

x =

3Tirpalai

1.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: U = 200

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Invertuokite ir pridėkite vienetą

56 = 0011 1000

invertuota: 1100 0111

+1 → 1100 1000

Perskaitykite be ženklo

1100 1000₂ = 256 − 56 = 200

Atsakymas

U = 200

2.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: R = 31

Bitas po bito

Postūmis dešinėn 2 perkelia kiekvieną bitą 2 pozicijomis į dešinę; bitai, iškritę iš dešiniojo galo, prarandami, o kairėje įeina nuliai.

0111 1110 >> 2

= 0001 1111

Rezultato reikšmė

0001 1111₂ = 31

Atsakymas

R = 31

3.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: ¬¬q → ¬(p ∧ r)

Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Implikacijos dalys

a = p ∧ r, b = ¬q

Kontrapozicija

¬b → ¬a = ¬¬q → ¬(p ∧ r)

Atsakymas

¬¬q → ¬(p ∧ r)

Kontrapozicija yra ekvivalenti pradiniam teiginiui, todėl ją įrodžius įrodomas ir teiginys.

4.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.

Perkelkite neigimą į vidų

¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

Atsakymas

∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 4

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

Sugrupuokite vienetus

Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.

B′C

BC′D′

A′D

A′C

Minimali SOP forma

F = B′C + BC′D′ + A′D + A′C

N = 4

Atsakymas

N = 4

Egzistuoja kitas to paties dydžio grupavimas; jis turi tiek pat narių ir literalų.

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 3

Pagrindiniai implikantai

Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.

BC′D, AC′D, ACD′

Esminiai pagrindiniai implikantai

BC′D, AC′D, ACD′

N = 3

Atsakymas

N = 3

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: φ(63) = 36

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Pirminiai daugikliai

63 = 3²·7

Oilerio funkcija

φ(63) = φ(9)·φ(7) = 6·6 = 36

Atsakymas

φ(63) = 36

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: m = 52

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Privatusis rodiklis

n = 1763, φ(n) = 1680

d = 17⁻¹ mod 1680 = 593

Iššifruokite kartotiniu kėlimu kvadratu

593 = 512 + 64 + 16 + 1

848¹ ≡ 848 (mod 1763)

848² ≡ 1563 (mod 1763)

848⁴ ≡ 1214 (mod 1763)

848⁸ ≡ 1691 (mod 1763)

848¹⁶ ≡ 1658 (mod 1763)

848³² ≡ 447 (mod 1763)

848⁶⁴ ≡ 590 (mod 1763)

848¹²⁸ ≡ 789 (mod 1763)

848²⁵⁶ ≡ 182 (mod 1763)

848⁵¹² ≡ 1390 (mod 1763)

848⁵⁹³ ≡ 848·1658·590·1390 ≡ 52 (mod 1763)

Žinutė

m = 52

Karkasinio medžio briaunos

20 − 1 = 19

Pašalintinos briaunos

k = 29 − 19 = 10

Atsakymas

k = 10

14.Grafų teorija

Atsakymas: briauna CE

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Primo algoritmas

1. EF (1)

2. CE (7)

3. AC (10)

4. AB (6)

5. GC (11)

6. GD (9)