Informatikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaičiavimo sistemos

Pozicijų vertės: dvejetainė 2^k, aštuntainė 8^k, šešioliktainė 16^k
Į dešimtainę: Σ d_k·b^k
Iš dešimtainės: dalykite iš pagrindo, liekanas skaitykite iš apačios į viršų
Šešioliktainė ↔ dvejetainė: vienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai
Papildomasis kodas: invertuokite bitus ir pridėkite 1

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Pagrindiniai elementai: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė: netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Trigeriai: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai: n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis: f_max = 1/(n·t_pd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai: n ir 2n būsenų

Metodas

Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

IPv4 potinkliai

Mazgai potinklyje: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Bloko dydis: 256 − (mask octet)
Tinklo adresas: IP AND kaukė
Transliacijos adresas: IP OR (NOT kaukė): visi mazgo bitai lygūs 1
Potinkliai iš n pasiskolintų bitų: 2ⁿ

2Uždaviniai

1.Skaičiavimo sistemosVidutinis

Nustatykite bitus, kad jie saugotų −115 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?

N = −1158 bit

U =

2.Skaičiavimo sistemosSunkus

Nustatykite bitus pagal 8 bitų rezultatą 1001 0111 AND 1001 0101. Kokia rezultato reikšmė R dešimtainėje sistemoje?

1001 0111AND1001 0101

R =

3.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Kuri formulė yra logiškai ekvivalenti (r ∧ p) → q? Spustelėkite ją.

(r ∧ p) → q

1(r → p) → q
2(r → q) ∧ (p → q)
3r ∧ (p → q)
4r → (p → q)

4.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVidutinis

Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15) sandaugų sumos (SOP) formą. Kiek sandaugos narių N ji turi?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15)

N =

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiSunkus

Sinchroninis mod-6 skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, 5 ir tada grįžta į 0. Jis pradeda nuo 0. Kokį skaičių Q (dešimtainiu pavidalu) jis rodo po 22 taktinių impulsų?

Q₀ = 022N = 6

Q =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite 27 atvirkštinį moduliu 61: skaičių x, kur 0 < x < 61 ir 27·x ≡ 1 (mod 61).

a = 27n = 61

27⁻¹ mod 61 =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

Kartotiniu kėlimu kvadratu raskite 33¹²¹ mod 59.

a = 33k = 121n = 59

33¹²¹ mod 59 =

9.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Koks yra šio kodo laiko sudėtingumas: for i = 1 to n: for j = 1 to i: atlikti O(1) darbą?

AO(n³)
BO(n)
CO(n log n)
DO(n²)

10.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kuris teiginys apie k-ojo mažiausio nesurikiuoto masyvo elemento išrinkimą teisingas?

AIšrinkimas įmanomas tik per O(n²)
BIšrinkimui visada reikia Ω(n log n), nes reikia rikiavimo
CQuickselect veikia per tikėtiną O(n), o medianų medianos metodas garantuoja O(n) blogiausiu atveju
DQuickselect blogiausiu atveju veikia per O(log n), nes rekursija vyksta tik į vieną atramos elemento pusę

11.Duomenų struktūrosVidutinis

Kodėl dvejetainę krūvą galima saugoti masyve be jokių rodyklių?

ATai pilnas dvejetainis medis, todėl pozicijas nusako paprastos indeksų formulės
BKrūvose niekada nebūna daugiau kaip 100 elementų
CVisi krūvos raktai lygūs
DMasyvai automatiškai laiko raktus surikiuotus, todėl rodyklių nereikia

12.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri apėjimų pora visada vienareikšmiškai nusako dvejetainį medį su skirtingais raktais?

AVien apėjimas lygmenimis
BPreorder ir postorder
CVien preorder
DPreorder ir inorder

13.Grafų teorijaVidutinis

Kiek skirtingų Hamiltono ciklų H turi pilnasis grafas K₇? Ciklai, besiskiriantys tik pradine viršūne ar kryptimi, laikomi tuo pačiu.

K₇

H =

14.Grafų teorijaSunkus

Kiek yra 2 ilgio uždarų maršrutų, prasidedančių ir pasibaigiančių ties E? Maršrutas gali kartoti viršūnes ir briaunas. Pažymėkite skaičių N.

M = gretimumo matricaL = 2

N =

15.Duomenų bazės ir SQLVidutinis

Studentai gali lankyti daug kursų, o kursus lanko daug studentų. Kaip tai modeliuojama lentelėmis?

AIšoriniu raktu course_id studentų lentelėje, nurodančiu į kursus
BVienu stulpeliu, saugančiu kursų id sąrašą
CSujungiant studentus ir kursus į vieną lentelę
DTarpine lentele, laikančia išorinius raktus ir į studentus, ir į kursus

16.Duomenų bazės ir SQLSunkus

Kodėl NATURAL JOIN laikomas rizikingu gamybinėse užklausose?

AJis sujungia pagal kiekvieną vienodai pavadintą stulpelį, todėl naujas stulpelis gali nepastebimai pakeisti rezultatą
BJis nepaiso pirminių ir išorinių raktų ir palieka tik NULL eilutes
CJo nepalaiko jokia duomenų bazė
DJis visada grąžina Dekarto sandaugą

17.Kompiuterių tinklaiVidutinis

Kokį lyginumo bitą, naudojant lyginį lyginumą, reikia pridėti prie duomenų bitų 1011001?

18.Kompiuterių tinklaiSunkus

Nuotolinio terminalo programa atrodo vangi, nes maži klavišų paspaudimų paketai sulaikomi. Kuris TCP mechanizmas dažnai dėl to kaltas?

ATrijų žingsnių rankos paspaudimas
BLėtas startas
CGreitasis pakartotinis siuntimas
DNagle algoritmas

19.IPv4 potinkliaiVidutinis

Tinklą 192.168.10.0/24 reikia padalyti į bent 16 vienodų potinklių. Jei pasiskolinsite kuo mažiau bitų, kiek naudojamų mazgų H turės kiekvienas potinklis?

192.168.10.0/2416 subnets

H =

20.IPv4 potinkliaiSunkus

Mazgo adresas yra 10.20.21.163/25. Koks yra jo potinklio transliacijos adreso paskutinis skaičius (ketvirtasis oktetas) x?

10.20.21.163/25

x =

3Tirpalai

1.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: U = 141

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Invertuokite ir pridėkite vienetą

115 = 0111 0011

invertuota: 1000 1100

+1 → 1000 1101

Perskaitykite be ženklo

1000 1101₂ = 256 − 115 = 141

Atsakymas

U = 141

2.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: R = 149

Bitas po bito

AND duoda 1 tik ten, kur abu bitai yra 1.

1001 0111

AND 1001 0101

= 1001 0101

Rezultato reikšmė

1001 0101₂ = 149

Atsakymas

R = 149

3.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: r → (p → q)

Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Dėsnis

Eksportacija: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Abi yra 0 tik tada, kai a = 1, b = 1 ir c = 0.

(r ∧ p) → q ≡ r → (p → q)

Patikrinkite teisingumo lentele

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 1

p = 1, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0

p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 0 0 0 1

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 1

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 0 1 0 1

Atsakymas

r → (p → q)

Stulpeliai po brūkšniu yra variantai pateikta tvarka.

4.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.

Perkelkite neigimą į vidų

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Atsakymas

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 4

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

Sugrupuokite vienetus

Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.

B′C′

AC′

A′BC

Minimali SOP forma

F = BD + B′C′ + AC′ + A′BC

N = 4

Atsakymas

N = 4

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: Q = 4

Trigeriai ir skaitikliai: trigeris keičiasi tik aktyviu taktinio signalo frontu. D nukopijuoja savo įėjimą (Q⁺ = D); T perjungia, kai T = 1; JK išlaiko esant 00, nustato į 0 esant 01, nustato į 1 esant 10 ir perjungia esant 11. n bitų dvejetainis skaitiklis turi 2ⁿ būsenų ir skaičiuoja moduliu 2ⁿ; mod-N skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, N − 1 ir grįžta į 0, jam reikia mažiausiai n trigerių, kad 2ⁿ ≥ N. Kiekviena nuosekliojo (ripple) skaitiklio pakopa perpus sumažina dažnį, todėl paskutinis mod-N skaitiklio išėjimas veikia f_clk/N dažniu. n trigerių Johnsono skaitiklis turi 2n būsenų, žiedinis – n.

Pilni ciklai

Kas 6 impulsų skaitiklis grįžta į tą pačią būseną.

22 = 3·6 + 4

Skaičius po likusių impulsų

Q = (0 + 4) mod 6 = 4

Q = 100₂

Atsakymas

Q = 4

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: 27⁻¹ mod 61 = 52

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Išplėstinis Euklido algoritmas

Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·27 (mod 61).

r = 61, t = 0

r = 27, q = 2, t = 1

r = 7, q = 3, t = −2

r = 6, q = 1, t = 7

r = 1, q = 6, t = −9

Atvirkštinė

1 ≡ −9·27 (mod 61)

x = 52

patikra: 27·52 = 1404 = 23·61 + 1

Atsakymas

27⁻¹ mod 61 = 52

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: 33¹²¹ mod 59 = 44

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Dvejetainis rodiklis

121 = 1111001₂ = 64 + 32 + 16 + 8 + 1

Kartotinis kėlimas kvadratu

33¹ ≡ 33 (mod 59)

33² ≡ 27 (mod 59)

33⁴ ≡ 21 (mod 59)

33⁸ ≡ 28 (mod 59)

D · Preorder ir inorder

13.Grafų teorija

Atsakymas: H = 360

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Suskaičiuokite

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Atsakymas

H = 360

14.Grafų teorija

Atsakymas: N = 3

Laipsniai: viršūnės laipsnis yra joje susitinkančių briaunų skaičius. Kiekviena briauna turi du galus, todėl laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui: Σ deg(v) = 2|E| (rankų paspaudimo lema). Todėl nelyginio laipsnio viršūnių skaičius lyginis. K_n turi n(n − 1)/2 briaunų, k-reguliarusis grafas su n viršūnių – nk/2, o medis su n viršūnių – n − 1 briauną.

Gretimumo matrica

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

D · Nagle algoritmas

19.IPv4 potinkliai

Atsakymas: H = 14

IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).

Skolinami bitai

2⁴ = 16 ≥ 16 → b = 4, /28

Mazgai potinklyje

2⁴ − 2 = 14

Atsakymas

H = 14

20.IPv4 potinkliai

Atsakymas: x = 255

Bloko dydis

2⁷ = 128

Šio mazgo potinklis

tinklas: ⌊163/128⌋·128 = 128

transliacija: 128 + 128 − 1 = 255

naudojami mazgai: 129 … 254

Atsakymas

x = 255

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals