Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
Nustatykite bitus, kad jie saugotų −44 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?
Nustatykite bitus pagal 8 bitų rezultatą 1110 1000 OR 0110 0011. Kokia rezultato reikšmė R dešimtainėje sistemoje?
Kuri formulė yra logiškai ekvivalenti r → q? Spustelėkite ją.
Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro ¬(c ∨ b) ∧ ((c ∧ d) → (b ↔ a)) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.
Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 3, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15) sumų sandaugos (POS) formą. Kiek sumos narių (daugiklių) N ji turi?
Raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 6, 9, 10, 11, 12) + d(14, 15) SOP formą, kur d žymi nesvarbias sąlygas. Kiek literalų L ji turi?
Raskite 32 atvirkštinį moduliu 71: skaičių x, kur 0 < x < 71 ir 32·x ≡ 1 (mod 71).
RSA raktas naudoja pirminius skaičius p = 7 ir q = 43 bei viešąjį rodiklį e = 13. Raskite privatųjį rodiklį d (0 < d < φ(n)).
Koks yra LSD pozicinio rikiavimo (radix sort) vykdymo laikas n sveikųjų skaičių, turinčių d skaitmenų k pagrindo sistemoje?
Kokia amortizuotoji dvejetainio skaitiklio padidinimo kaina, žinant, kad vienas padidinimas gali pakeisti daug bitų?
Programai reikia greitos paieškos, taip pat reikia išvardyti raktus surikiuota tvarka ir atsakyti į intervalų užklausas. Kuri struktūra tinka geriausiai?
Ką skleidžiamasis medis (splay tree) atlieka po kiekvienos prieigos?
Ar jungus grafas turi Oilerio ciklą, Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, ar nei vieno? Spustelėkite savo atsakymą.
Dijkstros algoritmas vykdomas nuo A. Spustelėkite viršūnę, užfiksuojamą (padaromą galutine) 6 etape; pats A yra 1 etapas.
Reliacinėje algebroje projekcijos operatorius (π) atitinka:
Ką apskaičiuoja SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales?
Kuris vienas prefiksas apibendrina ir 192.168.0.0/24, ir 192.168.1.0/24?
DNS podėlio apnuodijimo (DNS cache poisoning) ataka siekiama:
Skyriui viename potinklyje reikia 918 mazgų adresų. Koks yra ilgiausias prefiksas p (mažiausias potinklis), kurio pakanka?
Maršrutizatorius turi maršrutus į šiuos tinklus: 10.89.88.0/24, 10.89.89.0/24, 10.89.90.0/24, 10.89.91.0/24, 10.89.92.0/24, 10.89.93.0/24, 10.89.94.0/24, 10.89.95.0/24. Koks ilgiausias vieno apibendrinto maršruto, apimančio juos visus, prefikso ilgis p?
Atsakymas: U = 212
Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.
Atsakymas: R = 235
Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.
OR duoda 1, kur bent vienas bitas yra 1.
Atsakymas: ¬r ∨ q
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Stulpeliai po brūkšniu yra variantai pateikta tvarka.
Atsakymas: N = 4
Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.
Atsakymas: N = 4
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.
Atsakymas: L = 10
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.
Atsakymas: 32−1 mod 71 = 20
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·32 (mod 71).
Atsakymas: d = 97
Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.
Atsakymas: A · O(d(n + k))
Kiekvienas iš d perėjimų yra rikiavimas skaičiavimu, kainuojantis O(n + k), todėl esant fiksuotiems d ir k bendras laikas tiesinis n atžvilgiu.
Atsakymas: C · O(1) vienam padidinimui
Per n padidinimų i-asis bitas pasikeičia apie n / 2ⁱ kartų, todėl iš viso yra mažiau nei 2n pakeitimų, vidutiniškai O(1) kiekvienam.
Atsakymas: C · Subalansuotas dvejetainis paieškos medis
Subalansuotas DPM užtikrina O(log n) paiešką ir laiko raktus sutvarkytus, todėl in-order apėjimas ir intervalų užklausos paprastos; maišos lentelė raktus išbarsto.
Atsakymas: C · Posūkiais iškelia pasiektą mazgą į šaknį
Skleidimas posūkiais perkelia pasiektą mazgą į šaknį; viena operacija gali kainuoti O(n), bet amortizuota kaina yra O(log n).
Atsakymas: Oilerio ciklas
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Atsakymas: D
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Atsakymas: C · Pasirinkimą, kurie stulpeliai bus rezultate
Projekcija palieka pasirinktus atributus (SELECT sąrašas), o atranka σ palieka sąlygą tenkinančias eilutes (WHERE sąlyga).
Atsakymas: C · Kaupiamąją amount sumą, sutvarkytą pagal day
Esant ORDER BY ir nenurodžius rėmo, langas tęsiasi nuo pirmosios eilutės iki einamosios (ir jai lygių), todėl gaunama kaupiamoji suma.
Atsakymas: B · 192.168.0.0/23
0 ir 1 sutampa visais trečiojo okteto bitais, išskyrus paskutinį, todėl vienu bitu trumpesnis prefiksas (/23), prasidedantis nuo 192.168.0.0, tiksliai apima abu.
Atsakymas: B · Priversti resolverį išsaugoti netikrą domeno IP adresą
Apnuodijimas į resolverio podėlį įterpia suklastotus įrašus. DNSSEC prideda parašus, kad resolveriai galėtų patikrinti įrašus.
Atsakymas: p = 22
IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).
Atsakymas: p = 21
Maršrutų apibendrinimas: apibendrintas maršrutas a.b.c.0/p apima visus tinklus, kurių pirmieji p bitai sutampa. Pirmojo ir paskutinio tinklo besiskiriantį oktetą užrašykite dvejetainiu pavidalu; bendrų pradinių bitų skaičius, pridėjus ankstesnių oktetų bitus, yra ilgiausias apibendrinimo prefiksas.
Apibendrintas maršrutas: 10.89.88.0/21
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals