Informatikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaičiavimo sistemos

Pozicijų vertės: dvejetainė 2^k, aštuntainė 8^k, šešioliktainė 16^k
Į dešimtainę: Σ d_k·b^k
Iš dešimtainės: dalykite iš pagrindo, liekanas skaitykite iš apačios į viršų
Šešioliktainė ↔ dvejetainė: vienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai
Papildomasis kodas: invertuokite bitus ir pridėkite 1

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Pagrindiniai elementai: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė: netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Trigeriai: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai: n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis: f_max = 1/(n·t_pd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai: n ir 2n būsenų

Metodas

Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

IPv4 potinkliai

Mazgai potinklyje: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Bloko dydis: 256 − (mask octet)
Tinklo adresas: IP AND kaukė
Transliacijos adresas: IP OR (NOT kaukė): visi mazgo bitai lygūs 1
Potinkliai iš n pasiskolintų bitų: 2ⁿ

2Uždaviniai

1.Skaičiavimo sistemosVidutinis

Nustatykite bitus, kad jie saugotų −82 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?

N = −828 bit

U =

2.Skaičiavimo sistemosSunkus

Koks yra mažiausias (labiausiai neigiamas) sveikasis skaičius N, kurį galima užrašyti 32 bitų papildomuoju kodu?

32 bit

N =

3.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p))

N =

4.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kiek iš 16 teisingumo lentelės eilučių daro ¬(q ∨ (r ↔ p)) ↔ ((¬p ∧ s) ∨ (¬r ∧ q)) teisingą? Pažymėkite šį skaičių N.

¬(q ∨ (r ↔ p)) ↔ ((¬p ∧ s) ∨ (¬r ∧ q))

N =

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVidutinis

4 į 1 multiplekserio pasirinkimo įėjimai yra S₁ = A ir S₀ = B, o duomenų įėjimai prijungti prie I₀ = 0, I₁ = C, I₂ = C′, I₃ = 1. Kiek iš 8 A, B ir C derinių duoda išėjimą F = 1? Raskite N.

I₀ = 0I₁ = CI₂ = C′I₃ = 1

N =

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiSunkus

Raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 7, 8, 9, 11, 12) + d(3, 10, 15) SOP formą, kur d žymi nesvarbias sąlygas. Kiek literalų L ji turi?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 7, 8, 9, 11, 12) + d(3, 10, 15)

L =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Išspręskite 6x ≡ 3 (mod 11). Pateikite sprendinį x, kur 0 < x < 11.

6x ≡ 3 (mod 11)

x =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

Užšifruokite pranešimą m = 228 RSA viešuoju raktu (n, e) = (341, 19). Raskite šifrogramą c.

n = 341e = 19m = 228

c =

9.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuris teiginys apie rekursinę funkciją be pasiekiamo bazinio atvejo teisingas?

AJi vis kviečia save, kol perpildomas kvietimų stekas
BKompiliatorius visada ją paverčia ciklu, kuris saugiai pasibaigia
CJi veikia per O(1) laiką
DJi automatiškai grąžina 0

10.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Heldo–Karpo dinaminio programavimo algoritmas tiksliai išsprendžia keliaujančio pirklio uždavinį. Koks jo vykdymo laikas n miestų?

AO(n!)
BO(2^n²)
CO(n³)
DO(n² 2ⁿ)

11.Duomenų struktūrosVidutinis

Dvejetainio medžio šaknis yra 1, jos kairysis vaikas 2, dešinysis 3; mazgas 2 turi vaikus 4 (kairįjį) ir 5 (dešinįjį). Koks postorder apėjimas?

A4 5 2 3 1
B1 2 4 5 3
C5 4 3 2 1
D4 2 5 1 3

12.Duomenų struktūrosSunkus

Kuri savybė kiekvieną B medį išlaiko tobulai subalansuotą?

AKiekvienas mazgas saugo vieną raktą
BRaktai saugomi tik šaknyje
CVisi lapai yra tame pačiame gylyje
DKiekvienas mazgas turi lygiai du vaikus

13.Grafų teorijaVidutinis

Jungus grafas turi 6 viršūnių ir 6 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?

|V| = 6|E| = 6

k =

14.Grafų teorijaSunkus

Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).

pradžia: Apabaiga: F

d(F) =

15.Duomenų bazės ir SQLVidutinis

LEFT JOIN grąžina:

ATik atitinkančias abiejų lentelių eilutes
BTik visas dešiniosios lentelės eilutes
CVisas kairiosios lentelės eilutes ir atitinkančias dešiniosios lentelės eilutes, o ten, kur atitikmens nėra, – NULL
DEilutes, neturinčias atitikmens nė vienoje lentelėje

16.Duomenų bazės ir SQLSunkus

Kodėl daugelis DBVS naudoja griežtąjį dviejų fazių užrakinimą, išlaikydamos išskirtinius užraktus iki patvirtinimo?

AJis leidžia transakcijoms saugiai skaityti nešvarius duomenis
BJis pašalina transakcijų žurnalo poreikį
CJis apsaugo nuo kaskadinių nutraukimų, nes niekas negali skaityti nepatvirtintų įrašų
DJis padaro aklavietes neįmanomas

17.Kompiuterių tinklaiVidutinis

Kam Ethernet kadruose naudojamas ciklinis perteklinis kodas (CRC)?

AKiekvienai bito klaidai automatiškai ištaisyti
BGeriausiam maršrutui parinkti
CKadrui šifruoti
DPerdavimo klaidoms aptikti

18.Kompiuterių tinklaiSunkus

Ką internete daugiausia atlieka BGP?

AKeičiasi maršrutizavimo informacija tarp autonominių sistemų
BPriskiria IP adresus namų naudotojams per jų interneto tiekėjus
CŠifruoja duomenis tarp maršrutizatorių
DVerčia vardus į adresus

19.IPv4 potinkliaiVidutinis

Skyriui viename potinklyje reikia 684 mazgų adresų. Koks yra ilgiausias prefiksas p (mažiausias potinklis), kurio pakanka?

684 hosts

p =

20.IPv4 potinkliaiSunkus

Mazgo adresas yra 10.20.11.250/26. Koks yra jo tinklo adreso ketvirtasis oktetas x?

10.20.11.250/26

x =

3Tirpalai

1.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: U = 174

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Invertuokite ir pridėkite vienetą

82 = 0101 0010

invertuota: 1010 1101

+1 → 1010 1110

Perskaitykite be ženklo

1010 1110₂ = 256 − 82 = 174

Atsakymas

U = 174

2.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: N = −2,147 × 10⁹

Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.

Labiausiai neigiama reikšmė

−2³¹ = −2147483648

Atsakymas

N = −2147483648

3.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 3

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

p = 1, q = 1, r = 1: ¬q = 0, ¬p = 0, r → ¬p = 0, ¬q ∧ (r → ¬p) = 0, (¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p) = 1, ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: ¬q = 0, ¬p = 0, r → ¬p = 1, ¬q ∧ (r → ¬p) = 0, (¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p) = 0, ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: ¬q = 1, ¬p = 0, r → ¬p = 0, ¬q ∧ (r → ¬p) = 0, (¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p) = 1, ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: ¬q = 1, ¬p = 0, r → ¬p = 1, ¬q ∧ (r → ¬p) = 1, (¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p) = 1, ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: ¬q = 0, ¬p = 1, r → ¬p = 1, ¬q ∧ (r → ¬p) = 0, (¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p) = 0, ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: ¬q = 0, ¬p = 1, r → ¬p = 1, ¬q ∧ (r → ¬p) = 0, (¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p) = 0, ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: ¬q = 1, ¬p = 1, r → ¬p = 1, ¬q ∧ (r → ¬p) = 1, (¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p) = 1, ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: ¬q = 1, ¬p = 1, r → ¬p = 1, ¬q ∧ (r → ¬p) = 1, (¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p) = 1, ¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)) = 0

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

¬((¬q ∧ (r → ¬p)) ↔ (r → ¬p)): 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0

N = 3

Atsakymas

N = 3

4.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 7

Stulpeliai

r ↔ p; q ∨ (r ↔ p); ¬(q ∨ (r ↔ p)); ¬p; ¬p ∧ s; ¬r; ¬r ∧ q; (¬p ∧ s) ∨ (¬r ∧ q); ¬(q ∨ (r ↔ p)) ↔ ((¬p ∧ s) ∨ (¬r ∧ q))

Skaidymas pagal p

p = 1: 4

p = 0: 3

N = 4 + 3 = 7

Atsakymas

N = 7

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 4

Multiplekseris: 2ⁿ į 1 multiplekseris perduoda vieną iš savo duomenų įėjimų į išėjimą; pasirinkimo linijos, skaitomos kaip dvejetainis skaičius, nurodo kurį. 4 į 1 MUX su pasirinkimo įėjimais S₁S₀ = AB, F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Duomenų įėjimus prijungus prie 0, 1, C arba C′, MUX gali sukurti bet kurią A, B ir C funkciją; tai dažnas būdas sudaryti logiką viena mikroschema.

Išėjimo išraiška

F = A′BC + AB′C′ + AB

Eilutės su F = 1

ABC = 011, 100, 110, 111

N = 4

Atsakymas

N = 4

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: L = 6

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

Pagrindiniai implikantai

Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.

C′D′, CD, AB′

Minimalus dengimas

F = C′D′ + CD + AB′

L = 6

Atsakymas

L = 6

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: x = 6

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

6 atvirkštinis

r = 11, t = 0

r = 6, q = 1, t = 1

r = 5, q = 1, t = −1

r = 1, q = 5, t = 2

6⁻¹ ≡ 2 (mod 11)

Išspręskite

x ≡ 2·3 = 6 ≡ 6 (mod 11)

patikra: 6·6 = 36 ≡ 3 (mod 11)

Atsakymas

x = 6

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: c = 84

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Kartotinis kėlimas kvadratu

19 = 16 + 2 + 1

228¹ ≡ 228 (mod 341)

228² ≡ 152 (mod 341)

228⁴ ≡ 257 (mod 341)

C · Visi lapai yra tame pačiame gylyje

13.Grafų teorija

Atsakymas: k = 1

Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; K_n jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.

Karkasinio medžio briaunos

6 − 1 = 5

Pašalintinos briaunos

k = 6 − 5 = 1

Atsakymas

k = 1

14.Grafų teorija

Atsakymas: d(F) = 24

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Dijkstra etapas po etapo

Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.

A (0): B: 7, C: 4

C (4): E: 15

B (7): D: 19

E (15): F: 24

D (19)

F (24)

Trumpiausias kelias

A → C → E → F

Reikalingi mazgo bitai

2⁹ − 2 = 510 < 684

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 684 → h = 10

Prefikso ilgis

p = 32 − 10 = 22

Atsakymas

p = /22

20.IPv4 potinkliai

Atsakymas: x = 192

Bloko dydis

2⁶ = 64

Šio mazgo potinklis

tinklas: ⌊250/64⌋·64 = 192

transliacija: 192 + 64 − 1 = 255

naudojami mazgai: 193 … 254

Atsakymas

x = 192

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals