Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
8 bitų seka 1100 0110 saugo sveikąjį skaičių su ženklu papildomajame kode. Kokia jo reikšmė N dešimtainėje sistemoje?
Nustatykite bitus pagal 8 bitų rezultatą 1111 0010 << 1. Kokia rezultato reikšmė R dešimtainėje sistemoje?
Norite įrodyti ¬c → a prieštara. Kurį teiginį darote prielaida pradžioje? Spustelėkite jį.
Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.
Supaprastinkite F = AB′ + A′BC + A′BC′ + B′C iki minimalios sandaugų sumos formos. Kiek literalų L turi supaprastinta išraiška?
Raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 9, 12, 13, 15) + d(4, 7, 14) SOP formą, kur d žymi nesvarbias sąlygas. Kiek literalų L ji turi?
Raskite 75 atvirkštinį moduliu 83: skaičių x, kur 0 < x < 83 ir 75·x ≡ 1 (mod 83).
Išspręskite 28x ≡ 48 (mod 72). Pateikite mažiausią teigiamą sprendinį x.
Koks yra dviejų n × n matricų daugybos standartiniu trigubu ciklu laiko sudėtingumas?
Kaip Bellmano–Fordo algoritmas aptinka iš šaltinio pasiekiamą neigiamo svorio ciklą?
Kiek atminties naudoja gretimumo sąrašas grafui su V viršūnių ir E briaunų?
Kokią garantiją raudonai juodo medžio taisyklės suteikia medžio su n raktų aukščiui?
Jungus grafas turi 11 viršūnių ir 20 briaunų. Kiek briaunų k reikia pašalinti, kad liktų karkasinis medis?
Dijkstros algoritmu raskite trumpiausio kelio nuo A iki F svertiniame grafe ilgį d(F).
Kuris sakinys pašalina visas lentelės eilutes, išlaiko jos struktūrą ir negali turėti WHERE sąlygos?
Ko reikalauja išankstinio žurnalo rašymo (WAL) taisyklė?
Kuris vienas prefiksas apibendrina ir 192.168.0.0/24, ir 192.168.1.0/24?
Ugniasienė blokuoja visą ICMP. Mažos žiniatinklio užklausos veikia, bet dideli atsisiuntimai kai kuriais keliais užstringa. Kokia tikėtina priežastis?
Skyriui viename potinklyje reikia 1635 mazgų adresų. Koks yra ilgiausias prefiksas p (mažiausias potinklis), kurio pakanka?
Mazgo adresas yra 10.20.45.140/29. Koks yra jo tinklo adreso ketvirtasis oktetas x?
Atsakymas: N = −58
Pozicinės skaičiavimo sistemos: kiekvienas skaitmuo vertas savo reikšmės, padaugintos iš pagrindo laipsnio. Dvejetainėje sistemoje pozicijos vertos 1, 2, 4, 8, 16, …, šešioliktainėje 1, 16, 256, …, o A–F reiškia 10–15. 8 bitų papildomajame kode kairysis bitas vertas −128 vietoj +128; taip saugomi neigiami skaičiai.
Kiti bitai išlaiko įprastas teigiamas vertes.
Atsakymas: R = 228
Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.
Postūmis kairėn 1 perkelia kiekvieną bitą 1 pozicijomis į kairę; bitai, iškritę iš kairiojo galo, prarandami, o dešinėje įeina nuliai.
Atsakymas: ¬c ∧ ¬a
Loginis ekvivalentumas: dvi formulės yra ekvivalenčios (≡), kai kiekvienoje teisingumo lentelės eilutėje turi tą pačią reikšmę. Tautologija yra 1 kiekvienoje eilutėje, prieštara – 0 kiekvienoje eilutėje, o kontingencija nėra nei viena, nei kita. Naudingi dėsniai: De Morgano, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b ir ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (kontrapozicija); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; ir distributyvumo dėsniai, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Jei prielaida lemia prieštarą, implikacija turi būti teisinga.
Atsakymas: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.
Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.
Atsakymas: L = 6
Būlio algebra: išraiškas supaprastinančios taisyklės yra X + X′ = 1 ir X·X′ = 0, X + X = X, sugėrimas X + X·Y = X, jungimo taisyklė X·Y + X·Y′ = X, X + X′Y = X + Y ir konsensuso teorema XY + X′Z + YZ = XY + X′Z. De Morgano dėsniai (X·Y)′ paverčia X′ + Y′, o (X + Y)′ – X′·Y′. Karno žemėlapis šias taisykles taiko grafiškai: kiekviena dviejų gretimų langelių grupė yra vienas XY + XY′ = X taikymas.
Egzistuoja kitas to paties dydžio grupavimas; jis turi tiek pat literalų.
Atsakymas: L = 11
Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.
Didžiausios grupės, kurias galima sudaryti iš vienetų ir X.
Atsakymas: 75−1 mod 83 = 31
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Kiekviena liekana r užrašoma kaip r ≡ t·75 (mod 83).
Atsakymas: x = 12
Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Atsakymas: D · O(n³)
Yra n² elementų, ir kiekvienam reikia n daugybų, todėl gaunama n³ operacijų.
Atsakymas: D · Po V − 1 etapų jis patikrina, ar kurią nors briauną dar galima relaksuoti
Visi tikrieji trumpiausi atstumai randami per V − 1 etapą; jei kurią nors briauną vis dar galima pagerinti, turi egzistuoti neigiamas ciklas.
Atsakymas: B · O(V + E)
Kiekviena viršūnė turi sąrašą, o kiekviena briauna pasirodo vieną kartą (kryptiniame) arba dukart (nekryptiniame grafe), todėl gaunama O(V + E).
Atsakymas: B · Aukštis ne didesnis kaip 2 log2(n + 1)
Kiekviename kelyje yra vienodas juodų mazgų skaičius, o raudoni mazgai negali būti gretimi, todėl ilgiausias kelias daugiausia dvigubai ilgesnis už trumpiausią, ir aukštis yra O(log n).
Atsakymas: k = 10
Oileris, Hamiltonas ir medžiai: jungus grafas turi Oilerio ciklą (kiekviena briauna vieną kartą, grįžtama į pradžią), kai kiekvienos viršūnės laipsnis lyginis, ir Oilerio kelią, kuris nėra ciklas, kai lygiai dvi viršūnės turi nelyginį laipsnį; tada kelias eina iš vienos nelyginės viršūnės į kitą. Hamiltono ciklas aplanko kiekvieną viršūnę vieną kartą; Kn jų turi (n − 1)!/2. Medis su n viršūnių turi n − 1 briauną, o jungus grafas su m briaunų turi karkasinį medį, pašalinus m − n + 1 briaunų.
Atsakymas: d(F) = 22
Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.
Kiekviena eilutė: užfiksuota viršūnė, jos galutinis atstumas ir kaimynai, kurių atstumas pagerėja.
Atsakymas: D · TRUNCATE TABLE
TRUNCATE greitai ištuština lentelę ir išlaiko jos apibrėžimą; DELETE gali pašalinti pasirinktas eilutes, o DROP pašalina pačią lentelę.
Atsakymas: A · Pakeitimo žurnalo įrašas turi pasiekti patvarią atmintį anksčiau už pakeistą duomenų puslapį
Žurnalo rašymas pirmiausia leidžia DBVS po gedimo pakartoti patvirtintą darbą ir atšaukti nepatvirtintą, taip užtikrinant atomiškumą ir patvarumą.
Atsakymas: D · 192.168.0.0/23
0 ir 1 sutampa visais trečiojo okteto bitais, išskyrus paskutinį, todėl vienu bitu trumpesnis prefiksas (/23), prasidedantis nuo 192.168.0.0, tiksliai apima abu.
Atsakymas: D · Kelio MTU aptikimas neveikia, nes blokuojami pranešimai „reikia fragmentuoti“
PMTUD remiasi ICMP pranešimais, kad sužinotų mažesnį MTU. Jei jie atmetami, dideli paketai tyliai dingsta, ir susidaro „juodosios skylės“ ryšys.
Atsakymas: p = 21
IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).
Atsakymas: x = 136
IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).
ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals