Informatikos pagrindai: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Skaičiavimo sistemos

Pozicijų vertės: dvejetainė 2^k, aštuntainė 8^k, šešioliktainė 16^k
Į dešimtainę: Σ d_k·b^k
Iš dešimtainės: dalykite iš pagrindo, liekanas skaitykite iš apačios į viršų
Šešioliktainė ↔ dvejetainė: vienas šešioliktainis skaitmuo = 4 bitai
Papildomasis kodas: invertuokite bitus ir pridėkite 1

Teiginių logika ir įrodymai

Teisingumo lentelės eilutės: 2ⁿ
Implikacija: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Implikacijos neigimas: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Ekvivalencija: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
De Morgano dėsniai: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Distributyvumo dėsniai: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Kvantorių neigimas: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Metodas

Suskaičiuokite skirtingus kintamuosius: teisingumo lentelėje yra 2ⁿ eilučių, o pirmoji eilutė – visi kintamieji lygūs 1.
Kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį ir užpildykite stulpelius iš vidaus į išorę.
Taikykite kiekvienos jungties taisyklę: → yra 0 tik tada, kai 1 → 0, o ↔ yra 1, kai abi pusės sutampa.
Tikrindami ekvivalentumą, palyginkite galutinius stulpelius eilutė po eilutės; tikrindami argumentą, žiūrėkite tik į eilutes, kuriose visos prielaidos lygios 1.
Norėdami paneigti kvantorių turintį teiginį, perkelkite ¬ į vidų, sukeiskite ∀ ir ∃ vietomis ir paneikite vidinę formulę.

Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Pagrindiniai elementai: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
Būlio taisyklės: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
De Morgano dėsniai: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
Karno žemėlapio tvarka: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
2ᵏ langelių grupė: netenka k kintamųjų
4 į 1 multiplekseris: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
Trigeriai: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
Skaitikliai: n bitų: 2ⁿ būsenų; mod-N: mažiausias n, kad 2ⁿ ≥ N; f_out = f_clk/N
Nuosekliojo veikimo (ripple) skaitiklis: f_max = 1/(n·t_pd)
Žiediniai ir Johnsono skaitikliai: n ir 2n būsenų

Metodas

Grandinei dirbkite nuo įėjimų iki išėjimo po vieną elementą ir užrašykite reikšmę ant kiekvieno laido arba užrašykite išraišką ir užpildykite teisingumo lentelę.
Supaprastindami įrašykite vienetus (o nesvarbias reikšmes kaip X) į Karno žemėlapį su Grejaus kodo eilutėmis ir stulpeliais: 00, 01, 11, 10.
Vienetus padenkite kuo mažiau ir kuo didesnių 1, 2, 4, 8 ar 16 langelių grupių, apsisukančių per kraštus; kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys iš kintamųjų, kurie joje nesikeičia. POS formai grupuokite nulius.
Trigeriams ir skaitikliams skaitykite įėjimus kiekvienu aktyviu taktiniu frontu, užrašykite būseną po kiekvieno fronto ir atminkite, kad n bitų skaitiklis apsisuka po 2ⁿ būsenų.

Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Dalyba su liekana: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Euklidas: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Mažiausias bendrasis kartotinis: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Atvirkštinė: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Tiesinė kongruencija: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Oilerio funkcija: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Metodas

Pirmiausia visus skaičius suredukuokite moduliu n; liekanos yra nuo 0 iki n − 1.
Didžiausiam bendrajam dalikliui kartokite dalybą Euklido algoritmu; paskutinė nenulinė liekana yra DBD.
Atvirkštiniam skaičiui taikykite išplėstinį algoritmą ir pasilikite a koeficientą; jei jis neigiamas, pridėkite n.
Sprendžiant a·x ≡ b, dauginkite iš a⁻¹; dvi kongruencijas sujunkite rašydami x = r₁ + m₁k.
Laipsniams užrašykite rodiklį dvejetainiu pavidalu ir kelkite kvadratu pakartotinai; RSA atveju d = e⁻¹ mod φ(n), kur φ(n) = (p − 1)(q − 1).

Grafų teorija

Rankų paspaudimo lema: Σ deg(v) = 2|E|
Pilnieji grafai: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Reguliarusis grafas: |E| = n·k/2
Medis ir miškas: |E| = n − 1, |E| = n − c
Medžio lapai: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Oileris: ciklas: visų viršūnių laipsniai lyginiai; kelias: lygiai 2 nelyginio laipsnio viršūnės
Hamiltono ciklai grafe K_n: (n − 1)!/2
Dijkstros atnaujinimas: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
L ilgio maršrutai: (Mᴸ)_ij

Metodas

Užrašykite kiekvienos viršūnės laipsnį; laipsnių suma lygi dvigubam briaunų skaičiui.
Oilerio uždaviniuose patikrinkite, ar grafas jungus, ir suskaičiuokite nelyginio laipsnio viršūnes.
Medžiams naudokite n − 1 briaunų ir rankų paspaudimo lemą.
Dijkstros algoritme laikykite preliminarių atstumų lentelę ir kiekviename etape užfiksuokite mažiausio atstumo dar neužfiksuotą viršūnę.
Minimaliam karkasiniam medžiui surikiuokite briaunas pagal svorį ir praleiskite kiekvieną briauną, uždarančią ciklą (Kruskalis), arba auginkite vieną medį iš pradinės viršūnės (Primas).

IPv4 potinkliai

Mazgai potinklyje: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
Bloko dydis: 256 − (mask octet)
Tinklo adresas: IP AND kaukė
Transliacijos adresas: IP OR (NOT kaukė): visi mazgo bitai lygūs 1
Potinkliai iš n pasiskolintų bitų: 2ⁿ

2Uždaviniai

1.Skaičiavimo sistemosVidutinis

Nustatykite bitus, kad jie saugotų −90 8 bitų dvejetainiu papildomuoju kodu. Skaitant kaip skaičių be ženklo, kokia šablono reikšmė U?

N = −908 bit

U =

2.Skaičiavimo sistemosSunkus

Nustatykite bitus pagal 8 bitų rezultatą 0100 1110 AND 0111 1111. Kokia rezultato reikšmė R dešimtainėje sistemoje?

0100 1110AND0111 1111

R =

3.Teiginių logika ir įrodymaiVidutinis

Kiek iš 8 teisingumo lentelės eilučių ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) yra teisinga? Pažymėkite šį skaičių N.

((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p)

N =

4.Teiginių logika ir įrodymaiSunkus

Kuris teiginys yra ekvivalentus ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), kai neigimas perkeltas iki pat vidaus? Spustelėkite jį.

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))

1∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
2∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
4∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiVidutinis

Karno žemėlapiu raskite minimalią F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 14) sandaugų sumos (SOP) formą. Kiek sandaugos narių N ji turi?

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 14)

N =

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriaiSunkus

4 bitų dvejetainis mažėjantis skaitiklis pradeda nuo 4 (dešimtainiu pavidalu, Q = 0100). Kokį skaičių Q (dešimtainiu pavidalu) jis rodo po 21 taktinių impulsų?

Q₀ = 421n = 4

Q =

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaVidutinis

Raskite mažiausią teigiamą sveikąjį skaičių x, kur x ≡ 6 (mod 8) ir x ≡ 2 (mod 9).

x ≡ 6 (mod 8)x ≡ 2 (mod 9)

x =

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetikaSunkus

RSA raktas naudoja p = 13, q = 19 ir e = 5. Iššifruokite šifrogramą c = 89: raskite pranešimą m.

p = 13q = 19e = 5c = 89

m =

9.Algoritmai ir sudėtingumasVidutinis

Kuri godžioji taisyklė veiklų atrankos uždavinyje visada duoda didžiausią nepersidengiančių veiklų skaičių?

APirmiausia pasirinkti trumpiausią veiklą
BPasirinkti anksčiausiai prasidedančią veiklą
CPirmiausia pasirinkti veiklą, turinčią mažiausiai persidengimų, tada kartoti su suderinamomis
DPasirinkti anksčiausiai pasibaigiančią veiklą, tada kartoti su suderinamomis

10.Algoritmai ir sudėtingumasSunkus

Kokia amortizuotoji dvejetainio skaitiklio padidinimo kaina, žinant, kad vienas padidinimas gali pakeisti daug bitų?

AO(log n) vienam padidinimui
BO(n) vienam padidinimui
CO(1) vienam padidinimui
DO(n log n) vienam padidinimui

11.Duomenų struktūrosVidutinis

Kurią duomenų struktūrą naudoja paieška į gylį (DFS, iteracinė versija)?

AEilę
BKrūvą
CTik maišos lentelę
DSteką

12.Duomenų struktūrosSunkus

Struktūros union-find (nesikertančios aibės) su jungimu pagal rangą ir kelio suspaudimu amortizuota vienos operacijos kaina yra:

ATiksliai O(log n)
BO(α(n)), atvirkštinė Ackermanno funkcija, praktiškai pastovi
CO(n)
DO(n²)

13.Grafų teorijaVidutinis

Medis turi 2 viršūnių, kurių laipsnis 5, 4 viršūnių, kurių laipsnis 2, o visos kitos jo viršūnės yra lapai (laipsnis 1). Kiek lapų L jis turi?

2 × deg 54 × deg 2

L =

14.Grafų teorijaSunkus

Raskite svertinio grafo minimalaus karkasinio medžio bendrą svorį W.

|V| = 7|E| = 9

W =

15.Duomenų bazės ir SQLVidutinis

Kodėl SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 daugumoje duomenų bazių nepavyksta?

AWHERE gali lyginti tik tekstinius stulpelius
BPseudonimuose negali būti pabraukimo
CWHERE įvertinamas prieš SELECT sąrašą, todėl pseudonimo dar nėra
DSELECT sąraše aritmetika neleidžiama

16.Duomenų bazės ir SQLSunkus

Du budintys gydytojai kiekvienas patikrina, kad kitas vis dar budi, ir abu tuo pačiu metu atsijungia. Kurią anomaliją čia vis dar gali leisti momentinės kopijos izoliacija (snapshot isolation)?

ANešvarų skaitymą
BNepakartojamą skaitymą vienoje transakcijoje
CRašymo iškreipimą (write skew)
DNešvarų rašymą

17.Kompiuterių tinklaiVidutinis

Kodėl komutatorius kartais siunčia kadrą per visus prievadus, išskyrus tą, per kurį jis atėjo?

AKadro IP kontrolinė suma neteisinga, todėl jį turi patikrinti kiekvienas mazgas
BPaskirties MAC adreso dar nėra jo adresų lentelėje
CKadras per didelis vienam prievadui
DKomutatorius veikia kaip maršrutizatorius

18.Kompiuterių tinklaiSunkus

Ką TCP ryšyje valdo priėmimo langas (rwnd)?

AKiekvieno IP paketo antraštės dydį
BKiek nepatvirtintų duomenų siuntėjas gali išsiųsti, atsižvelgiant į gavėjo buferį
CPakartotinio siuntimo laiko pabaigą, apskaičiuotą pagal kiekvieno segmento išmatuotą apsisukimo laiką
DAtvirų prievadų skaičių

19.IPv4 potinkliaiVidutinis

Skyriui viename potinklyje reikia 1306 mazgų adresų. Koks yra ilgiausias prefiksas p (mažiausias potinklis), kurio pakanka?

1306 hosts

p =

20.IPv4 potinkliaiSunkus

Maršrutizatorius turi maršrutus į šiuos tinklus: 10.78.196.0/24, 10.78.197.0/24, 10.78.198.0/24, 10.78.199.0/24, 10.78.200.0/24, 10.78.201.0/24, 10.78.202.0/24. Koks ilgiausias vieno apibendrinto maršruto, apimančio juos visus, prefikso ilgis p?

10.78.196.0/24 … 10.78.202.0/24

p =

3Tirpalai

1.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: U = 166

Bitų nustatymas: kiekvienas bitas vertas dvejeto laipsnio (128, 64, …, 1). Vienas šešioliktainis skaitmuo yra lygiai keturi bitai, o 8 bitų dvejetainiame papildomajame kode kairysis bitas vertas −128. Bitinės operacijos atliekamos kiekvienai bito pozicijai atskirai.

Invertuokite ir pridėkite vienetą

90 = 0101 1010

invertuota: 1010 0101

+1 → 1010 0110

Perskaitykite be ženklo

1010 0110₂ = 256 − 90 = 166

Atsakymas

U = 166

2.Skaičiavimo sistemos

Atsakymas: R = 78

Bitas po bito

AND duoda 1 tik ten, kur abu bitai yra 1.

0100 1110

AND 0111 1111

= 0100 1110

Rezultato reikšmė

0100 1110₂ = 78

Atsakymas

R = 78

3.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: N = 7

Teisingumo lentelės: formulė su n skirtingų kintamųjų turi 2ⁿ eilučių, po vieną kiekvienam teisingumo reikšmių deriniui (1 = teisinga, 0 = klaidinga). Dirbkite iš vidaus į išorę ir kiekvienai posakio daliai skirkite savo stulpelį. ¬a apverčia reikšmę; a ∧ b yra 1 tik tada, kai abu lygūs 1; a ∨ b yra 0 tik tada, kai abu lygūs 0; a → b yra 0 tik tada, kai a = 1 ir b = 0; a ↔ b yra 1, kai abi pusės lygios.

Teisingumo lentelė eilutė po eilutės

p = 1, q = 1, r = 1: r ↔ q = 1, (r ↔ q) ∧ p = 1, r ↔ p = 1, ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r ↔ q = 0, (r ↔ q) ∧ p = 0, r ↔ p = 0, ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r ↔ q = 0, (r ↔ q) ∧ p = 0, r ↔ p = 1, ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r ↔ q = 1, (r ↔ q) ∧ p = 1, r ↔ p = 0, ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: r ↔ q = 1, (r ↔ q) ∧ p = 0, r ↔ p = 0, ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: r ↔ q = 0, (r ↔ q) ∧ p = 0, r ↔ p = 1, ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: r ↔ q = 0, (r ↔ q) ∧ p = 0, r ↔ p = 0, ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: r ↔ q = 1, (r ↔ q) ∧ p = 0, r ↔ p = 1, ((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p) = 1

Suskaičiuokite eilutes su reikšme 1

((r ↔ q) ∧ p) → (r ↔ p): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1

N = 7

Atsakymas

N = 7

4.Teiginių logika ir įrodymai

Atsakymas: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Kvantoriai ir argumentai: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ir ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Perkelkite neigimą į vidų, sukeiskite kiekvieną kvantorių, pro kurį jis praeina, o vidinę formulę paneikite teiginių logikos dėsniais, pavyzdžiui, ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Argumentas yra teisingas (galiojantis), kai išvada lygi 1 kiekvienoje eilutėje, kurioje visos prielaidos lygios 1. Viena eilutė su teisingomis prielaidomis ir klaidinga išvada yra kontrapavyzdys ir rodo, kad argumentas negalioja.

Perkelkite neigimą į vidų

¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)) ≡ ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Atsakymas

∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))

Kiti variantai arba palieka kvantorių nepakeistą, arba keičia kvantorių tvarką, arba netinkamai neigia vidinę formulę.

5.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: N = 5

Karno žemėlapiai: langeliai išdėstyti Grejaus kodu (00, 01, 11, 10), todėl gretimi langeliai, įskaitant esančius per kraštus, skiriasi tiksliai vienu kintamuoju. Sugrupuokite vienetus į 1, 2, 4, 8 arba 16 langelių stačiakampius, kuo didesnius ir kuo mažiau, kol bus padengtas kiekvienas vienetas. Kiekviena grupė yra vienas sandaugos narys: kintamieji, kurie joje nesikeičia. 2ᵏ langelių grupė netenka k kintamųjų. Nesvarbias reikšmes (X) galima naudoti grupėms didinti, bet jų dengti nebūtina. Grupuojant nulius, gaunama minimali POS forma.

Sugrupuokite vienetus

Kiekviena grupė yra 2ᵏ langelių stačiakampis; kraštiniai langeliai yra priešingo krašto langelių kaimynai.

CD′

B′C′D

A′C′D

A′B′

ABD′

Minimali SOP forma

F = CD′ + B′C′D + A′C′D + A′B′ + ABD′

N = 5

Atsakymas

N = 5

6.Skaitmeninė logika: elementai, Karno žemėlapiai ir trigeriai

Atsakymas: Q = 15

Trigeriai ir skaitikliai: trigeris keičiasi tik aktyviu taktinio signalo frontu. D nukopijuoja savo įėjimą (Q⁺ = D); T perjungia, kai T = 1; JK išlaiko esant 00, nustato į 0 esant 01, nustato į 1 esant 10 ir perjungia esant 11. n bitų dvejetainis skaitiklis turi 2ⁿ būsenų ir skaičiuoja moduliu 2ⁿ; mod-N skaitiklis skaičiuoja 0, 1, …, N − 1 ir grįžta į 0, jam reikia mažiausiai n trigerių, kad 2ⁿ ≥ N. Kiekviena nuosekliojo (ripple) skaitiklio pakopa perpus sumažina dažnį, todėl paskutinis mod-N skaitiklio išėjimas veikia f_clk/N dažniu. n trigerių Johnsono skaitiklis turi 2n būsenų, žiedinis – n.

Pilni ciklai

Kas 16 impulsų skaitiklis grįžta į tą pačią būseną.

21 = 1·16 + 5

Skaičius po likusių impulsų

Q = (4 − 5) mod 16 = 15

Q = 1111₂

Atsakymas

Q = 15

7.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: x = 38

Atvirkštiniai skaičiai ir kongruencijos: a turi atvirkštinį moduliu n lygiai tada, kai gcd(a, n) = 1. Išplėstinis Euklido algoritmas užrašo 1 = s·n + t·a, ir tada a⁻¹ ≡ t (mod n). Kongruencija a·x ≡ b (mod n), kai gcd(a, n) = 1, turi sprendinį x ≡ a⁻¹·b. Dvi kongruencijos x ≡ r₁ (mod m₁) ir x ≡ r₂ (mod m₂) su tarpusavyje pirminiais moduliais turi vieną sprendinį moduliu m₁·m₂ (Kinų liekanų teorema). Oilerio φ(n) skaičiuoja skaičius nuo 1 iki n, tarpusavyje pirminius su n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Pirmoji kongruencija

x = 6 + 8k

Antroji kongruencija

6 + 8k ≡ 2 (mod 9) → 8k ≡ 5 (mod 9)

k ≡ 8·5 ≡ 4 (mod 9)

Rezultatas

x = 6 + 8·4 = 38

x = 38

patikra: 38 mod 8 = 6, 38 mod 9 = 2

Atsakymas

x = 38

8.Skaičių teorija ir modulinė aritmetika

Atsakymas: m = 59

Moduliniai laipsniai ir RSA: aᵏ mod n skaičiuokite kartotiniu kėlimu kvadratu: užrašykite k dvejetainiu pavidalu, keliate kvadratu, po kiekvieno žingsnio redukuokite ir sudauginkite laipsnius, kurių bitas lygus 1. Ferma: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) pirminiam p, nedalijančiam a, todėl rodiklį galima redukuoti moduliu p − 1. RSA: pasirinkite pirminius p ir q, n = p·q ir φ(n) = (p − 1)(q − 1); viešasis rodiklis e tarpusavyje pirminis su φ(n), o privatusis rodiklis yra d = e⁻¹ mod φ(n). Šifruokite c = mᵉ mod n ir dešifruokite m = cᵈ mod n.

Privatusis rodiklis

n = 247, φ(n) = 216

d = 5⁻¹ mod 216 = 173

Iššifruokite kartotiniu kėlimu kvadratu

173 = 128 + 32 + 8 + 4 + 1

89¹ ≡ 89 (mod 247)

89² ≡ 17 (mod 247)

89⁴ ≡ 42 (mod 247)

89⁸ ≡ 35 (mod 247)

89¹⁶ ≡ 237 (mod 247)

89³² ≡ 100 (mod 247)

89⁶⁴ ≡ 120 (mod 247)

89¹²⁸ ≡ 74 (mod 247)

89¹⁷³ ≡ 89·42·35·100·74 ≡ 59 (mod 247)

Žinutė

m = 59

Rankų paspaudimo lema medžiui

L + 18 = 2(L + 6) − 2

L = 8

Atsakymas

L = 8

Trumpesnis kelias: L = 2 + Σ (d − 2) pagal viršūnes, kurių laipsnis d ≥ 3.

14.Grafų teorija

Atsakymas: W = 50

Trumpiausi keliai ir karkasiniai medžiai: Dijkstros algoritmas kiekviename etape užfiksuoja po vieną viršūnę: neužfiksuotą viršūnę su mažiausiu preliminariu atstumu. Tada jos atstumas galutinis, o kiekvienas kaimynas v gauna d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Kruskalio algoritmas sudaro minimalų karkasinį medį imdamas briaunas nuo lengvų iki sunkių ir praleisdamas kiekvieną briauną, kuri uždarytų ciklą; Primo algoritmas augina vieną medį iš pradinės viršūnės visada pridėdamas lengviausią iš jo išeinančią briauną. Karkasinis medis su n viršūnių turi n − 1 briauną.

Kruskalio algoritmas

EF (1): imti

CE (5): imti

AB (6): imti

GC (11): imti

B · Kiek nepatvirtintų duomenų siuntėjas gali išsiųsti, atsižvelgiant į gavėjo buferį

19.IPv4 potinkliai

Atsakymas: p = 21

IPv4 potinkliai: adresas turi 32 bitus. Prefiksas /p nurodo, kiek pradinių bitų žymi tinklą; likę 32 − p bitai numeruoja mazgus. Potinklis turi 2³²⁻ᵖ adresų, bet pirmojo (tinklo adreso) ir paskutiniojo (transliacijos adreso) negalima priskirti mazgams, todėl telpa 2³²⁻ᵖ − 2 mazgai. Išimtys: /31 (dviejų taškų jungtis, RFC 3021) abu savo 2 adresus naudoja mazgams, o /32 yra vienas adresas (vienas mazgas arba grįžtamoji sąsaja).

Reikalingi mazgo bitai

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1306

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1306 → h = 11

Prefikso ilgis

p = 32 − 11 = 21

Atsakymas

p = /21

20.IPv4 potinkliai

Atsakymas: p = 20

Maršrutų apibendrinimas: apibendrintas maršrutas a.b.c.0/p apima visus tinklus, kurių pirmieji p bitai sutampa. Pirmojo ir paskutinio tinklo besiskiriantį oktetą užrašykite dvejetainiu pavidalu; bendrų pradinių bitų skaičius, pridėjus ankstesnių oktetų bitus, yra ilgiausias apibendrinimo prefiksas.

Palyginkite bitus

196 = 11000100

202 = 11001010

bendri pradiniai bitai: 4

Prefikso ilgis

p = 16 + 4 = 20

Atsakymas

p = /20

Apibendrintas maršrutas: 10.78.192.0/20 (jis taip pat apima tinklų, kurių nėra sąraše: 9).

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals