Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

4 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 24 °C kambarį. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,07 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 30 min.

T₀ = 4 °CT_a = 24 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 30 min

T = °C

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite Koši uždavinį y′ + 3y/x = 6, kai x > 0, su y(1) = −3. Raskite y(2).

y′ + 3y/x = 6y(1) = −3

y(2) =

3.IntegralaiVidutinis

Sritis po y = 2x nuo x = 0 iki x = 1 sukama apie x ašį. Raskite kūno (kūgio) tūrį V.

y = 2x0 ≤ x ≤ 1

V =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = 2x² ir y = 2x, plotą A.

y = 2x²y = 2x

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(3x), x radianais. Raskite f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = x² + 5x + 6 liestinė taške x = 2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = x² + 5x + 6x = 2

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Simpsono formule su n = 2 juostų apytiksliai apskaičiuokite ∫₀^1,5 e^−x² dx. Pateikite S.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 1,5]n = 2

S =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Išspręskite y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 Oilerio metodu su žingsniu h = 0,5 iki t = 2,5. Tikslus sprendinys yra y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t). Raskite globaliąją paklaidą |E| = |y(2,5) − y₅|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,5

|E| =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 21,55 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 24 + (−20)·e^−0,07t

Įstatykite t

T(30) = 24 + (−20)·0,1225 = 21,55 °C

Atsakymas

T = 21,55 °C

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(2) = 2,438

Integruojantysis daugiklis

μ = e^{∫3/x dx} = x³

Integruokite

(x³y)′ = 6x³ → x³y = 6x⁴/4 + C

Pradinė sąlyga

−3 = 6/4 + C → C = −4,5

Apskaičiuokite

y(2) = (6·2⁴/4 + (−4,5))/2³ = 2,438

Atsakymas

y(2) = 2,438

3.Integralai

Atsakymas: V = 4,189

Sukimosi kūnų tūriai: sritį po kreive y = f(x) nuo x = a iki x = b sukant apie x ašį, gaunamas kūnas, kurio pjūvis ties x yra skritulys, kurio spindulys f(x). Sudėjus skritulius, gaunama V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Kai sritis yra tarp išorinės kreivės R(x) ir vidinės kreivės r(x), kiekvienas sluoksnis yra žiedas: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Spindulius pakelkite kvadratu prieš atimdami.

Skritulių metodas

V = π∫₀¹ 4x² dx

Integruokite

V = π·4·1³/3 = 4,189

Atsakymas

V = 4,189

Patikra: kūgio, kurio spindulys 2 ir aukštis 1, tūris (1/3)πr²h = 4,189.

4.Integralai

Atsakymas: A = 0,3333

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Susikirtimo taškai

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Atsakymas

A = 0,3333

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(2) = 5,482

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Įstatykite

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

Atsakymas

f′(2) = 5,482

6.Išvestinės

Atsakymas: b = 2

Taškas ir krypties koeficientas

f(2) = 20

f′(x) = 2x + 5 → f′(2) = 9

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 20 − 9·2 = 2

Atsakymas

b = 2

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: S = 0,8461

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Mazgai ir reikšmės

h = 0,75

Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,569783 + 0,105399 = 3,384531

Simpsono formulė

S = (0,75/3)·3,384531 = 0,8461

Atsakymas

S = 0,8461

Šis integralas neturi elementariosios pirmykštės funkcijos, būtent tada ir reikia skaitinio metodo.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,03943

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₅ = 1,999799

Tiksli reikšmė

y(2,5) = 1,960373

Globalioji paklaida

|E| = |1,960373 − 1,999799| = 0,03943

Grafikas

Atsakymas

|E| = 0,03943

Perpus sumažinus h, Oilerio metodo paklaida sumažėja maždaug perpus.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations