Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

6 °C gaiviojo gėrimo skardinė išimama iš šaldytuvo į 24 °C kambarį. Po 28 min temperatūra yra 21 °C. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Raskite konstantą k min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 24 °CT(28) = 21 °C

k = min⁻¹

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Išspręskite y″ + 3y′ + 11,25y = 0, kai y(0) = 1 ir y′(0) = 0 (paleista iš rimties). Raskite y(0,75); kampai radianais.

y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(0.75) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₁^1,5 x·ln x dx.

∫₁^1,5 x ln x dx

I =

4.IntegralaiSunkus

Apskaičiuokite I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(3x), x radianais. Raskite f′(1).

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = x² + x − 1 liestinė taške x = 2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = x² + x − 1x = 2

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Simpsono formule, kai n = 2, apytiksliai apskaičiuokite ∫₁³ 1/x dx ir palyginkite su tikslia reikšme. Raskite absoliučiąją paklaidą |E| = |S − I|.

f(x) = 1/x[a, b] = [1, 3]n = 2

|E| =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,25, kai y′ = y − t², y(0) = −1, įvertinkite y₃ ≈ y(0,75).

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,25

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: k = 0,06399 min⁻¹

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Temperatūrų skirtumų santykis

e^−28k = -3/-18

Išspręskite k atžvilgiu

k = ln(-18/-3)/28 = 0,06399 min⁻¹

Atsakymas

k = 0,06399 min⁻¹

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.75) = −0,07764

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Kompleksinės šaknys

r = −1,5 ± 3j

Konstantos

A = 1, B = 1,5·1/3 = 0,5

Apskaičiuokite

y(0,75) = e^−1,125(1·cos 2,25 + 0,5·sin 2,25) = −0,07764

Atsakymas

y(0,75) = −0,07764

3.Integralai

Atsakymas: I = 0,1436

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Pirmykštė funkcija

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Ribos

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Atsakymas

I = 0,1436

4.Integralai

Atsakymas: I = 0,0609

Pirmasis ciklas

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Antrasis ciklas

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Ribos

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

Atsakymas

I = 0,0609

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1) = −2,829

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Įstatykite

f′(1) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Atsakymas

f′(1) = −2,829

6.Išvestinės

Atsakymas: b = −5

Taškas ir krypties koeficientas

f(2) = 5

f′(x) = 2x + 1 → f′(2) = 5

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − 5·2 = −5

Atsakymas

b = −5

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,0125

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Tiksli reikšmė

I = 1,098612

Simpsono formulė

S = (1/3)·(1 + 4·0,5 + 0,333333) = 1,111111

Paklaida

|E| = |1,111111 − 1,098612| = 0,0125

Atsakymas

|E| = 0,0125

Santykinė paklaida: 1,138 %.

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = −2,035

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = −1 + 0,25·(−1) = −1,25

y₂ = −1,25 + 0,25·(−1,3125) = −1,578125

y₃ = −1,578125 + 0,25·(−1,828125) = −2,035156

Grafikas

y₃ = −2,035

Atsakymas

y₃ = −2,035

Tiksli reikšmė yra y(0,75) = −2,2885.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations