Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

Išspręskite y″ + 4y′ + 3y = 0, kai y(0) = 4 ir y′(0) = -2. Raskite y(1,5).

y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 4y′(0) = -2

y(1.5) =

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Talpoje yra 500 L vandens, kuriame ištirpinta 10 kg druskos. Sūrymas, kurio litre yra 0,05 kg druskos, įteka 4 L/min greičiu, o gerai išmaišytas tirpalas tokiu pat greičiu išteka. Kiek druskos m bus talpoje po 60 min?

V = 500 Lm₀ = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x radianais).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = x² ir y = 4x, plotą A.

y = x²y = 4x

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = x·sin(2x), x radianais. Raskite f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad

f′(1) =

6.IšvestinėsSunkus

Funkcijos f(x) = 2x² − 2x − 3 liestinė taške x = 2 kerta y ašį taške y = b. Raskite b.

f(x) = 2x² − 2x − 3x = 2

b =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formulė naudojama ∫₀¹ x³ dx. Paklaida ne didesnė kaip (b − a)³·M/(12n²), kur M = max|f″| intervale [0, 1]. Raskite mažiausią juostų skaičių n, garantuojantį paklaidą, mažesnę nei 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 0,0001

n =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Oilerio metodu su h = 0,2, kai y′ = −2ty, y(0) = 0,5, įvertinkite y₃ ≈ y(0,6).

y′ = −2tyy(0) = 0,5h = 0,2

y₃ =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(1.5) = 1,105

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Charakteristinės šaknys

(r + 1)(r + 3) = 0 → r = −1, −3

Konstantos pagal pradines vertes

A + B = 4, −1A − 3B = -2

A = 5, B = −1

Apskaičiuokite

y(1,5) = 5·e^−1,5 + (−1)·e^−4,5 = 1,105

Atsakymas

y(1,5) = 1,105

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: m = 15,72 kg

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Sudarykite lygtį

dm/dt = 4·0,05 − (4/500)·m = 0,2 − 0,008·m

Išspręskite

Integruojantysis daugiklis yra e^rt/V; sprendinys artėja prie pusiausvyrinės reikšmės c·V.

m(t) = 25 + (−15)·e^−t/125

Įstatykite t

m(60) = 25 + (−15)·0,6188 = 15,72 kg

Atsakymas

m = 15,72 kg

3.Integralai

Atsakymas: I = 0,3424

Integravimas dalimis: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, išplaukia iš sandaugos diferencijavimo taisyklės. Kaip u rinkitės dauginamąjį, kuris diferencijuojant tampa paprastesnis (x laipsnį ar ln x), o kaip dv – dauginamąjį, kurį galite suintegruoti (eˣ, sin x, cos x arba x, kai u = ln x). Apibrėžtiniam integralui u·v apskaičiuokite abiejose ribose: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Dauginamajam x² reikia dviejų ciklų.

Pasirinkite u ir dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Pirmykštė funkcija

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Ribos

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Atsakymas

I = 0,3424

4.Integralai

Atsakymas: A = 10,67

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Susikirtimo taškai

x² = 4x → x = 0, x = 4

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Atsakymas

A = 10,67

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(1) = 0,077

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Sandaugos ir grandinės taisyklės

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Įstatykite

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Atsakymas

f′(1) = 0,077

6.Išvestinės

Atsakymas: b = −11

Taškas ir krypties koeficientas

f(2) = 1

f′(x) = 4x − 2 → f′(2) = 6

Liestinė, kai x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − 6·2 = −11

Atsakymas

b = −11

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: n = 71

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Antros išvestinės įvertis

M = 6·1 = 6

Išreikškite n

n² > 1·6/(12·0,0001) = 5000

n > 70,71 → n = 71

Atsakymas

n = 71

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: y₃ = 0,3864

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₁ = 0,5 + 0,2·(0) = 0,5

y₂ = 0,5 + 0,2·(−0,2) = 0,46

y₃ = 0,46 + 0,2·(−0,368) = 0,3864

Grafikas

y₃ = 0,3864

Atsakymas

y₃ = 0,3864

Tiksli reikšmė yra y(0,6) = 0,348838.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations