Diferencialinės lygtys: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 8 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Diferencialinės lygtys

Eksponentinis augimas / mažėjimas: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Pusėjimo trukmė: k = ln 2 / t_½
Niutono aušimo dėsnis: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integruojantysis daugiklis: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Maišymo talpa: dm/dt = r·c − (r/V)·m

Integralai

Laipsnio išvestinė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Apibrėžtinis integralas: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Pagrindiniai integralai: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Plotas tarp kreivių: ∫_a^b (f − g) dx

Metodas

Kai įmanoma, pointegralinę funkciją perrašykite kaip paprastų narių sumą.
Taikykite laipsninės funkcijos taisyklę: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), o e^x, 1/x, sin ir cos – lentelinius integralus.
Keitinį naudokite, kai matote funkciją kartu su jos išvestine.
Apibrėžtiniam integralui apskaičiuokite F(b) − F(a).

Išvestinės

Laipsnio išvestinė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′
Dalmens išvestinė: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Grandinės taisyklė: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Pagrindinės išvestinės: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Metodas

Nustatykite struktūrą: suma, sandauga, dalmuo ar sudėtinė funkcija.
Kiekvienam x laipsniui taikykite laipsninės funkcijos išvestinės taisyklę.
Kur reikia, taikykite sandaugos, dalmens arba sudėtinės funkcijos išvestinės taisyklę.
Suprastinkite ir, jei prašoma, apskaičiuokite reikšmę taške.

Skaitiniai metodai

Pusiaukirta: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Niutono–Rafsono metodas: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Tiesinė interpoliacija: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Trapecijų paklaidos įvertis: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Oileris: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Hoinas: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Metodas

Šakniai: pusiaukirtai patikrinkite ženklo pokytį, Niutono metodui apskaičiuokite f ir f′, o iteracijų lentelėje palikite šešis ar daugiau skaitmenų.
Lentelės reikšmei: tiesiškai interpoliuokite tarp dviejų gretimų taškų.
Integralui: raskite h = (b − a)/n, išvardykite f kiekviename mazge, pritaikykite svorius (1, 2, …, 2, 1 trapecijų; 1, 4, 2, …, 4, 1 Simpsono, kai n lyginis) ir padauginkite iš h/2 arba h/3.
Diferencialinei lygčiai: žengkite nuo t₀ su yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Oileris) arba vidurkintu nuolydžiu (Hoinas), po eilutę kiekvienam žingsniui, kol pasieksite prašomą t.

2Uždaviniai

1.Diferencialinės lygtysVidutinis

420 °C kalta plieno detalė paliekama aušti 28 °C dirbtuvėje. Ji kinta pagal Niutono aušimo dėsnį dT/dt = −k·(T − Tₐ). Kai k = 0,03 min⁻¹, raskite temperatūrą T po 51 min.

T₀ = 420 °CT_a = 28 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 51 min

T = °C

2.Diferencialinės lygtysSunkus

Sistema tenkina y″ + 4y′ + 29y = 58, kai t ≥ 0, pradedant iš rimties: y(0) = 0, y′(0) = 0. Raskite y(0,25); kampai radianais.

y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

3.IntegralaiVidutinis

Apskaičiuokite I = ∫₂¹⁰ 5/x dx.

f(x) = 5/x[2, 10]

I =

4.IntegralaiSunkus

Raskite srities, apribotos y = x² ir y = 2x, plotą A.

y = x²y = 2x

A =

5.IšvestinėsVidutinis

Tegu f(x) = (3x − 1)⁵. Raskite f′(0).

f(x) = (3x − 1)⁵x = 0

f′(0) =

6.IšvestinėsSunkus

Tegu f(x) = x³ + 6x² + 9x − 6. Raskite lokaliojo minimumo x koordinatę x.

f(x) = x³ + 6x² + 9x − 6

x =

7.Skaitiniai metodaiVidutinis

Trapecijų formulė naudojama ∫₀¹ x³ dx. Paklaida ne didesnė kaip (b − a)³·M/(12n²), kur M = max|f″| intervale [0, 1]. Raskite mažiausią juostų skaičių n, garantuojantį paklaidą, mažesnę nei 1 × 10⁻⁵.

f(x) = x³[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵

n =

8.Skaitiniai metodaiSunkus

Išspręskite y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 Oilerio metodu su žingsniu h = 0,25 iki t = 0,75. Tikslus sprendinys yra y = 2y₀/(y₀ + (2 − y₀)e^−2t). Raskite globaliąją paklaidą |E| = |y(0,75) − y₃|.

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,25

|E| =

3Tirpalai

1.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: T = 112,9 °C

Pirmos eilės diferencialinės lygtys: lygties dy/dt = k·y sprendinys yra y = y₀·e^kt (augimas, kai k > 0, mažėjimas, kai k < 0); pusėjimo trukmė T duoda k = ln 2/T. Niutono aušimo dėsnis dT/dt = −k·(T − Tₐ) duoda T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Tiesinė lygtis y′ + p(x)·y = q(x) sprendžiama su integruojančiuoju daugikliu μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, todėl μy = ∫μq dx + C.

Aušimo dėsnio sprendinys

T(t) = 28 + 392·e^−0,03t

Įstatykite t

T(51) = 28 + 392·0,2165 = 112,9 °C

Atsakymas

T = 112,9 °C

2.Diferencialinės lygtys

Atsakymas: y(0.25) = 1,157

Antros eilės tiesinės lygtys: lygčiai y″ + b·y′ + c·y = 0 bandykite y = e^rt: gaunama charakteristinė lygtis r² + b·r + c = 0. Dvi skirtingos realiosios šaknys r₁ ≠ r₂ duoda y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (viršslopinamas atvejis); dviguba šaknis r duoda y = (A + Bt)·e^rt (kritinis slopinimas); kompleksinės šaknys −α ± jω duoda y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (nepakankamas slopinimas, virpesiai). Pradinės vertės y(0) ir y′(0) nustato A ir B. Užrašius y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n yra savasis dažnis, o ζ – slopinimo santykis: kai ζ < 1, atsiranda virpesių. Esant pastoviam įėjimui, y″ + by′ + cy = c·K, sprendinys yra nusistovėjusi vertė K plius laisvoji dedamoji.

Nusistovėjusi vertė ir šaknys

y_ss = 2, r = −2 ± 5j

Konstantos pagal pradines vertes

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 5B = 0 → B = −0,8

Apskaičiuokite

y(0,25) = 2·(1 − e^−0,5(cos 1,25 + 0,4·sin 1,25)) = 1,157

Atsakymas

y(0,25) = 1,157

3.Integralai

Atsakymas: I = 8,047

Apibrėžtiniai integralai: ∫ₐᵇ f(x) dx – tai ženklą turintis plotas tarp grafiko ir x ašies nuo a iki b. Raskite pirmykštę funkciją F (F′ = f) ir apskaičiuokite F(b) − F(a). Laipsnio taisyklė: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Plotas tarp dviejų kreivių yra ∫(viršutinė − apatinė) dx.

Pirmykštė funkcija

F(x) = 5·ln x

Įstatykite rėžius

I = 5·(ln 10 − ln 2) = 5·ln 5 = 8,047

Atsakymas

I = 8,047

4.Integralai

Atsakymas: A = 1,333

Susikirtimo taškai

x² = 2x → x = 0, x = 2

Integruokite viršutinę minus apatinę

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Atsakymas

A = 1,333

5.Išvestinės

Atsakymas: f′(0) = 15

Diferencijavimas: išvestinė f′(x) – tai grafiko krypties koeficientas taške x. Laipsnio taisyklė: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Sandaugos taisyklė: (uv)′ = u′v + uv′. Grandinės taisyklė: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Kur f′(x) = 0, grafikas turi horizontalią liestinę: maksimumą, minimumą arba balno tašką.

Grandinės taisyklė

f′(x) = 5·(3x − 1)⁴·3

Įstatykite

f′(0) = 5·(−1)⁴·3 = 15

Atsakymas

f′(0) = 15

6.Išvestinės

Atsakymas: x = −1

Išvestinė

f′(x) = 3x² + 12x + 9 = 3·(x² + 4x + 3)

Išspręskite f′(x) = 0

x = −3 arba x = −1

Kuris yra kuris

f″(x) = 6x + 12: neigiama maksimume, teigiama minimume.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6

x = −1

Atsakymas

x = −1

7.Skaitiniai metodai

Atsakymas: n = 224

Skaitinis integravimas: padalykite [a, b] į n juostų, kurių plotis h = (b − a)/n, su mazgais x₀ … xₙ. Trapecijų formulė: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Simpsono formulė (n lyginis): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. Trapecijų paklaida mažėja kaip h² (įvertis (b − a)h²·M/12, kur M = max|f″|), Simpsono – kaip h⁴, todėl su tais pačiais mazgais Simpsono formulė paprastai yra gerokai tikslesnė.

Antros išvestinės įvertis

M = 6·1 = 6

Išreikškite n

n² > 1·6/(12·1 × 10⁻⁵) = 50000

n > 223,6 → n = 224

Atsakymas

n = 224

8.Skaitiniai metodai

Atsakymas: |E| = 0,08674

Skaitinis y′ = f(t, y) sprendimas: Oilerio metodas žengia išilgai nuolydžio kiekvieno žingsnio pradžioje: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Hoino metodas (patobulintas Oilerio) vidurkina nuolydį pradžioje ir Oilerio prognozės taške: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasikinis Rungės–Kutos metodas (RK4) sujungia keturis nuolydžius: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Oilerio globalioji paklaida proporcinga h, Hoino – h², RK4 – h⁴.

Oilerio žingsniai

y₃ = 0,578119

Tiksli reikšmė

y(0,75) = 0,664856

Globalioji paklaida

|E| = |0,664856 − 0,578119| = 0,08674

Grafikas

Atsakymas

|E| = 0,08674

Perpus sumažinus h, Oilerio metodo paklaida sumažėja maždaug perpus.

ExamProblems · examproblems.com/courses/differential-equations