Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

120 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,5 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 4 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 120 km/ht_r = 0,5 sa = −4 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Akmuo be pradinio greičio numetamas į šulinį. Pliūpsnis išgirstamas praėjus 3,4 s nuo akmens paleidimo. Garso greitis 343 m/s; nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite šulinio gylį d.

t_total = 3,4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

15 kg rogės lygiu sniegu tempiamos lynu, sudarančiu 40° kampą virš horizontalės, 50 N jėga. Kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rogių pagreitį a.

m = 15 kgF = 50 Nθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 2,5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 20 m/s greičiu 30° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 21 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 20 m/sθ = 30°x = 21 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 10 m/s greičiu 65° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 45 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 10 m/sθ = 65°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 140 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,7. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 140 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

100 m spindulio posūkis turi 20° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 100 mθ = 20°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

2 kg rutuliukas kabo ant lengvo 2 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 20° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.

m = 2 kgL = 2 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3,5 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 2 kgh = 1,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

10 g kulka horizontaliai įšaunama į 4 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 23 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 10 gM = 4 kgh = 23 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,6 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 26 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 7 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,6 kgv_in = 26 m/sv_out = 7 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 18 kg masės ir 1,5 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vertikaliąją jėgą R, kuria šarnyras veikia strypą iškart po paleidimo.

m = 18 kgL = 1,5 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis vientisas diskas (masė 14 kg, spindulys 0,45 m) laisvai sukasi 200 rpm apie vertikalų besitrinantį velenėlį be trinties. Plonas 9 kg masės to paties spindulio žiedas numetamas ant jo iš rimties, centruotas veleno atžvilgiu, ir abu greitai susisuka kartu. Kiek kinetinės energijos ΔE prarandama proceso metu?

M_disc = 14 kgM_ring = 9 kgR = 0,45 mn₁ = 200 rpm

ΔE = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

0,55 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 3). Sliekratis turi 40 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 70%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_w ant sliekračio veleno.

z = 3N_w = 40n = 2900 rpmP = 0,55 kWη = 70%

T_w = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (25 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (32 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 375 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 1440 rpmA = 25B = 32C = 12n_out = 375 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 2,6 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 2,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

1,1 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 380 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią spyruoklės pailgėjimą x_max cm.

m = 1,1 kgk = 380 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

80 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 50 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 600 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 80 kgk = 50 kN/mc = 600 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 10 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 15 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 155,6 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 33,33·0,5 = 16,67 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·4) = 138,9 m

Iš viso

d = 16,67 + 138,9 = 155,6 m

Atsakymas

d = 155,6 m

2.Kinematika

Atsakymas: d = 51,78 m

Dvi laiko dalys

½·9,81·t₁² = 343·(3,4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1166 = 0

Kritimo trukmė

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1166))/(2·4,905) = 3,249 s

Gylis

d = ½·9,81·3,249² = 51,78 m

Atsakymas

d = 51,78 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 1,02 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Normalinė jėga

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 50·sin 40° = 115 N

Horizontaliosios jėgos

m·a = F·cos θ − μ·N = 38,3 − 23

a = 15,3/15 = 1,02 m/s²

Atsakymas

a = 1,02 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 9,197 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 0)/4 = 6,131 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1,5·6,131 + 0 = 9,197 N

Atsakymas

T = 9,197 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 4,914 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Laikas iki sienos

v_x = 20·cos 30° = 17,32 m/s

t = x/v_x = 21/17,32 = 1,212 s

Aukštis tuo momentu

y = 10·1,212 − ½·9,81·1,212² = 4,914 m

Atsakymas

y = 4,914 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 49,19 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 10·sin 65° = 9,063 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 9,063²/(2·9,81) = 4,187 m

Aukštis virš žemės

H = 45 + 4,187 = 49,19 m

Atsakymas

H = 49,19 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 31,01 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·140) = 31,01 m/s

Atsakymas

v_max = 31,01 m/s (111,6 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 29,62 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(100·9,81·0,7179/0,8029) = 29,62 m/s

Atsakymas

v_max = 29,62 m/s

(106,6 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: T = 21,99 N

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.

Greitis apačioje

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 20°) = 2,366 m²/s²

Jėgos apačioje

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

T = mg + mv²/L = 19,62 + 2·2,366/2 = 21,99 N

Atsakymas

T = 21,99 N

Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 21,99 N.

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,75 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 19,62·(1,5 − 0,1·3,5) = 22,56 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,15) = 4,75 m/s

Atsakymas

v = 4,75 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 851,8 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,23) = 2,124 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 4)·2,124/0,01 = 851,8 m/s

Atsakymas

v = 851,8 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 19,8 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,6·(7 + 26) = 19,8 N·s

Atsakymas

J = 19,8 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: R = 44,15 N

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Momentai šarnyro atžvilgiu

Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,5) = 9,81 rad/s²

Vertikaliosios jėgos

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 18·(9,81 − 7,357) = 44,15 N

Atsakymas

R = 44,15 N

R = m·g/4, nepriklauso nuo ilgio.

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ΔE = 174,9 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentai

I₁ = ½·14·0,45² = 1,417 kg·m²

I₂ = 9·0,45² = 1,823 kg·m²

Judesio kiekio momento tvermė

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 200·1,417/3,24 = 87,5 rpm

Kinetinė energija prieš ir po

E₁ = ½·1,417·20,94² = 310,9 J

E₂ = ½·3,24·9,163² = 136 J

ΔE = 310,9 − 136 = 174,9 J

Atsakymas

ΔE = 174,9 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_w = 16,9 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 2900·3/40 = 217,5 rpm

Išėjimo sukimo momentas

ω_w = 2π·217,5/60 = 22,78 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,7·550/22,78 = 16,9 N·m

Atsakymas

T_w = 16,9 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 36

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 1440·25/32 = 1125 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 12·1125/375 = 36

Atsakymas

N_D = 36

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 1,68 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,6/2π)² = 1,68 m

Atsakymas

L = 1,68 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x_max = 5,679 cm

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 1,1·9,81/380 = 0,0284 m = A

Žemiausias taškas

x_max = 2A = 0,05679 m = 5,679 cm

Atsakymas

x_max = 5,679 cm

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,15

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(50000·80) = 4000 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 600/4000 = 0,15

Atsakymas

ζ = 0,15

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 3,053 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 100 + 15 = 115 kN/m

k_eq = 115·10/(115 + 10) = 9,2 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(9200/25) = 19,18 rad/s

f_n = 19,18/(2π) = 3,053 Hz

Atsakymas

f_n = 3,053 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics