Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

72 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 7 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 72 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Tramvajus pajuda iš vietos ir 4 s greitėja 2,5 m/s² pagreičiu, tada 9 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 4,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 9 sa₃ = −4,5 m/s²

s = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

15 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 20° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 15 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 75 N jėga traukia priekinę 6 kg kaladėlę; 3 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kaladėlių pagreitį a.

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgF = 75 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 65° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 20 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 25 m/s greičiu 70° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 10 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 25 m/sθ = 70°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja per kelio kauburio viršūnę, kuri yra 75 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Viršijus kokį greitį v_max ratai viršūnėje atitrūksta nuo kelio?

r = 75 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

Rutuliukas ant 1,2 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Imkite g = 9,81 m/s². Koks mažiausias greitis v_min viršutiniame taške, kuriam esant siūlas dar lieka įtemptas?

r = 1,2 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg kūnas nuslysta 5 m nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 0,5 kgθ = 30°μ = 0,2d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,15k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1 kg vežimėlis, judantis 4 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 1 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,45 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 27 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 20 m/s greičiu. Sąlytis trunka 10 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,45 kgv_in = 27 m/sv_out = 20 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 9,5 kg masės ir 1,3 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Prie jo laisvojo galo pritvirtintas mažas 5 kg masės rutuliukas. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo greitį v, kai strypas praeina vertikalią padėtį.

m = 9,5 kgL = 1,3 mm_ball = 5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Žmogus stovi ant besitrinties sukamosios platformos ir kiekvienoje rankoje laiko po 4 kg hantelį, 0,65 m nuo ašies. Vien žmogaus ir platformos inercijos momentas ašies atžvilgiu yra 5 kg·m². Jie sukasi 60 rpm, tada hantelius pritraukia iki 0,25 m nuo ašies. Hantelius laikykite taškinėmis masėmis. Raskite naują greitį n₂ rpm.

I₀ = 5 kg·m²m = 2 × 4 kgr₁ = 0,65 mr₂ = 0,25 mn₁ = 60 rpm

n₂ = rpm

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 150 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 960 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 600 N, laisvosios – 300 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 150 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 160 mm ir 300 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 800 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 160 mmd₂ = 300 mmC = 800 mm

θ = °

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 2,3 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 2,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,1 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 330 N/m, atitraukiamas 7 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį v_max.

m = 3,1 kgk = 330 N/mA = 7 cm

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

15 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 20 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 90 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 15 kgk = 20 kN/mc = 90 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 15 kN/m, apatinės k₂ = 15 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 2,857 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 20/7 = 2,857 s

Atsakymas

t = 2,857 s

2.Kinematika

Atsakymas: s = 121,1 m

Didžiausias greitis

v = a₁·t₁ = 2,5·4 = 10 m/s

Kiekvienos fazės atstumas

s₁ = ½·2,5·4² = 20 m

s₂ = 10·9 = 90 m

s₃ = 10²/(2·4,5) = 11,11 m

Visas atstumas

s = 20 + 90 + 11,11 = 121,1 m

Atsakymas

s = 121,1 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,433 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Atsakymas

a = 2,433 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 7,352 m/s²

Visa sistema

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 8,829)/9 = 7,352 m/s²

Atsakymas

a = 7,352 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 3,695 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 65° = 8,452 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 65° = 18,13 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·18,13/9,81 = 3,695 s

Atsakymas

t = 3,695 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 38,13 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 25·sin 70° = 23,49 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 23,49²/(2·9,81) = 28,13 m

Aukštis virš žemės

H = 10 + 28,13 = 38,13 m

Atsakymas

H = 38,13 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 27,12 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Normalinė jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·75) = 27,12 m/s

Atsakymas

v_max = 27,12 m/s

(97,65 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 3,431 m/s

Viršuje įtempimo jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,2) = 3,431 m/s

Atsakymas

v_min = 3,431 m/s

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 4,248 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 4,905·0,866 = 4,248 N

F = μN = 0,2·4,248 = 0,8496 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 0,8496·5 = 4,248 J

Atsakymas

W_f = 4,248 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,539 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,15·3) = 51,5 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,05) = 4,539 m/s

Atsakymas

v = 4,539 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = −0,8 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1 − 1,5)/(1 + 1,5)·4 = −0,8 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 1,5)·4 = 3,2 m/s

Atsakymas

v′₁ = −0,8 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 2115 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,45·(20 + 27) = 21,15 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 21,15/0,01 = 2115 N

Atsakymas

F_avg = 2115 N

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 5,518 m/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 9,5·9,81·0,65 + 5·9,81·1,3 = 124,3 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 5,352 + 8,45 = 13,8 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 124,3 → ω = √(2·124,3/13,8) = 4,245 rad/s

v = ω·L = 4,245·1,3 = 5,518 m/s

Atsakymas

v = 5,518 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: n₂ = 91,42 rpm

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentai

I₁ = 5 + 2·4·0,65² = 8,38 kg·m²

I₂ = 5 + 2·4·0,25² = 5,5 kg·m²

Judesio kiekio momento tvermė

n₂ = n₁·I₁/I₂ = 60·8,38/5,5 = 91,42 rpm

Atsakymas

n₂ = 91,42 rpm

Kinetinė energija padidėja: papildoma energija atsiranda iš žmogaus darbo pritraukiant hantelius.

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 2,262 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 7,54 m/s

Galia

P = (600 − 300)·7,54 = 2262 W = 2,262 kW

Atsakymas

P = 2,262 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 170 °

Diržo kampas

asin(0,0875) = 5,02°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·5,02 = 170°

Atsakymas

θ = 170°

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 3,042 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(2,3/9,81) = 3,042 s

Atsakymas

T = 3,042 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,7222 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(330/3,1) = 10,32 rad/s

Didžiausias greitis

v_max = A·ω = 0,07·10,32 = 0,7222 m/s

Atsakymas

v_max = 0,7222 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,08216

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(20000·15) = 1095 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 90/1095 = 0,08216

Atsakymas

ζ = 0,08216

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 7,5 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/15 → k_eq = 15·15/(15 + 15) = 7,5 kN/m

Atsakymas

k_eq = 7,5 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics