Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

108 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 1 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.

v₀ = 108 km/ht_r = 1 sa = −5 m/s²

d = m

2.KinematikaSunkus

Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 2 s suteikia jai pastovų 34 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią raketos pasiekiamą aukštį h_max.

a = 34 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

14 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 14 kgθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

1 kg kaladėlė ant 25° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 7,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Rampa be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 1 kgm₂ = 7,5 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 20 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 39 m/s greičiu 40° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 11 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.

v₀ = 39 m/sθ = 40°h_roof = 11 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 0,4 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 60° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite rutuliuko greitį v.

L = 0,4 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

4,5 kg vežimėlis be pradinio greičio paleidžiamas 34 m aukštyje ant bėgio be trinties ir pervažiuoja vertikalią 10 m spindulio kilpą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite normalinę jėgą N_top, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 4,5 kgh = 34 mR = 10 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

4 kg kūnas nuslysta 20 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,1. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,1d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

2 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 2 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 5000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 2 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

800 kg automobilis, judantis 18 m/s greičiu, atsitrenkia į stovintį 1100 kg automobilį, ir abu sukimba. Kiek kinetinės energijos ΔK prarandama susidūrimo metu?

m₁ = 800 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

20 g kulka horizontaliai įšaunama į 3 kg tašelį, kabantį ant lengvų 1,3 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 35° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 20 gM = 3 kgL = 1,3 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 1,5 kg masės ir 1,7 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo pagreitį a_tip iškart po paleidimo.

m = 1,5 kgL = 1,7 mg = 9,81 m/s²

a_tip = m/s²

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis vientisas diskas (masė 21 kg, spindulys 0,3 m) laisvai sukasi 850 rpm apie vertikalų besitrinantį velenėlį be trinties. Plonas 3 kg masės to paties spindulio žiedas numetamas ant jo iš rimties, centruotas veleno atžvilgiu, ir abu greitai susisuka kartu. Kiek kinetinės energijos ΔE prarandama proceso metu?

M_disc = 21 kgM_ring = 3 kgR = 0,3 mn₁ = 850 rpm

ΔE = J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

5,5 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 24 dantų, kurio modulis 3 mm. Raskite tangentinę jėgą F_t, veikiančią krumpliaratuko dantis.

P = 5,5 kWn = 1450 rpmN₁ = 24m = 3 mm

F_t = N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

2,2 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (12 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (45 dantų). Krumpliaratis C (48 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (50 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 96%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 2,2 kWn_in = 2900 rpmA = 12B = 45C = 48D = 50η_mesh = 96%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

0,4 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 270 N/m, atitraukiamas 15 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,55 s (su ženklu).

m = 0,4 kgk = 270 N/mA = 15 cmt = 0,55 s

x = cm

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,2 kg krovinys pritvirtinamas prie neištemptos vertikalios spyruoklės, kurios k = 320 N/m, apatinio galo ir paleidžiamas be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią krovinio greitį v_max.

m = 2,2 kgk = 320 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 12 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 0,6 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 12 mmx₄ = 0,6 mmn = 4

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 100 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 20 kN/m ir k₂ = 30 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 20 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 30 kN/mk₃ = 100 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: d = 120 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Reakcijos kelias

d₁ = v₀·t_r = 30·1 = 30 m

Stabdymo kelias

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

Iš viso

d = 30 + 90 = 120 m

Atsakymas

d = 120 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 303,7 m

Varomoji fazė

v₁ = 34·2 = 68 m/s

h₁ = ½·34·2² = 68 m

Laisvasis skrydis aukštyn

Viršuje greitis lygus nuliui.

Δh = v₁²/(2g) = 68²/(2·9,81) = 235,7 m

h_max = 68 + 235,7 = 303,7 m

Atsakymas

h_max = 303,7 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 3,631 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 30° − 0,15·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1299) = 3,631 m/s²

Atsakymas

a = 3,631 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 12,31 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 73,58 N

m₁·g·sin θ = 4,146 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Sistemos pagreitis

a = (73,58 − 4,146 − 0)/8,5 = 8,168 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 7,5·(9,81 − 8,168) = 12,31 N

Atsakymas

T = 12,31 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 2,883 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 45° = 14,14 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 45° = 14,14 m/s

Skrydžio laikas

Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2v_y/g.

t = 2·14,14/9,81 = 2,883 s

Atsakymas

t = 2,883 s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 138,2 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 29,88 m/s, v_y = 25,07 m/s

Laikas iki nusileidimo ant stogo

Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.

11 = 25,07·t − 4,905·t²

t = (25,07 + √(25,07² − 2·9,81·11))/9,81 = 4,626 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 29,88·4,626 = 138,2 m

Atsakymas

x = 138,2 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 2,426 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 0,4·sin 60° = 0,3464 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,3464·9,81·tan 60°) = 2,426 m/s

Atsakymas

v = 2,426 m/s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: N_top = 79,46 N

Greitis iš energijos tvermės

v² = 2·9,81·(34 − 2·10) = 274,7 m²/s²

Jėgos

Teigiama kryptis į centrą.

N = m·v²/R − m·g = 4,5·274,7/10 − 44,15 = 79,46 N

Atsakymas

N_top = 79,46 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 64,29 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 39,24·0,8192 = 32,14 N

F = μN = 0,1·32,14 = 3,214 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 3,214·20 = 64,29 J

Atsakymas

W_f = 64,29 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,429 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 19,62·(2 − 0,25·4) = 19,62 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Atsakymas

v = 4,429 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: ΔK = 75032 J

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Bendras greitis

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·18/1900 = 7,579 m/s

Kinetinė energija prieš ir po

K_before = ½·800·18² = 129600 J

K_after = ½·1900·7,579² = 54568 J

Prarasta energija

ΔK = 129600 − 54568 = 75032 J

Atsakymas

ΔK = 75032 J

Prarasta energija virsta deformacija, šiluma ir garsu.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 324,3 m/s

Tašelio pakilimas

h = L·(1 − cos θ) = 1,3·(1 − cos 35°) = 0,2351 m

Greitis po smūgio

V = √(2·9,81·0,2351) = 2,148 m/s

Susidūrimas

v = (m + M)·V/m = 3,02·2,148/0,02 = 324,3 m/s

Atsakymas

v = 324,3 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: a_tip = 14,71 m/s²

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Momentai šarnyro atžvilgiu

Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·1,7) = 8,656 rad/s²

Laisvojo galo pagreitis

a_tip = α·L = 8,656·1,7 = 14,71 m/s²

Atsakymas

a_tip = 14,71 m/s²

a_tip = 1,5·g bet kokiam ilgiui: laisvasis galas krenta greičiau nei paleistas akmuo.

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ΔE = 831,9 J

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentai

I₁ = ½·21·0,3² = 0,945 kg·m²

I₂ = 3·0,3² = 0,27 kg·m²

Judesio kiekio momento tvermė

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 850·0,945/1,215 = 661,1 rpm

Kinetinė energija prieš ir po

E₁ = ½·0,945·89,01² = 3744 J

E₂ = ½·1,215·69,23² = 2912 J

ΔE = 3744 − 2912 = 831,9 J

Atsakymas

ΔE = 831,9 J

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: F_t = 1006 N

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Krumpliaratuko sukimo momentas

ω = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5500/151,8 = 36,22 N·m

Dalijamasis skersmuo

d = m·N = 3·24 = 72 mm

Tangentinė jėga

F_t = 2T/d = 2·36,22/0,072 = 1006 N

Atsakymas

F_t = 1006 N

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 26,08 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 2900·(12/45)·(48/50) = 742,4 rpm

ω_out = 2π·742,4/60 = 77,74 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 2200·0,96² = 2028 W

T_out = P_out/ω_out = 2028/77,74 = 26,08 N·m

Atsakymas

T_out = 26,08 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = −2,275 cm

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(270/0,4) = 25,98 rad/s

ω·t = 25,98·0,55 = 14,29 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(14,29) = −2,275 cm

Atsakymas

x = −2,275 cm

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v_max = 0,8134 m/s

Pusiausvyra ir amplitudė

x₀ = m·g/k = 2,2·9,81/320 = 0,06744 m = A

Didžiausias greitis

Greitis didžiausias pusiausvyros padėtyje.

ω = √(320/2,2) = 12,06 rad/s

v_max = A·ω = 0,06744·12,06 = 0,8134 m/s

Atsakymas

v_max = 0,8134 m/s

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1184

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(12/0,6) = 0,7489

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,7489/√(39,48 + 0,5609) = 0,1184

Atsakymas

ζ = 0,1184

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 6,497 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 20 + 30 = 50 kN/m

k_eq = 50·100/(50 + 100) = 33,33 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(33333/20) = 40,82 rad/s

f_n = 40,82/(2π) = 6,497 Hz

Atsakymas

f_n = 6,497 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics