Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

72 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 8 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 72 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 6 m/s greičiu nuo stogo, esančio 15 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 6 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

11 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 11 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės spiriamas 32 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės link sienos, esančios 47 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiame aukštyje y kamuolys praskrenda pro sieną?

v₀ = 32 m/sθ = 20°x = 47 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 45° kampu į horizontą nuo 20 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.

v₀ = 21 m/sθ = 45°h = 20 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

170 m spindulio posūkis turi 5° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 170 mθ = 5°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,5 kg rutuliukas ant lengvo 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 7 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,5 kgr = 0,7 mv_bottom = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 1500 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,15 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 10 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,15 kgk = 1500 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

20 kg kaladėlė iš rimties būsenos 30° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 250 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 10 m aukštyn šlaitu.

m = 20 kgF = 250 Nθ = 30°μ = 0,15d = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1,5 kg vežimėlis, judantis 5 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,3 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 9 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 5 m/s greičiu. Sąlytis trunka 10 ms. Raskite vidutinę jėgą F_avg, kuria siena veikia kamuolį.

m = 0,3 kgv_in = 9 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 8,5 kg masės ir 0,6 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Prie jo laisvojo galo pritvirtintas mažas 4 kg masės rutuliukas. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite strypo kampinį greitį ω, kai jis praeina vertikalią padėtį.

m = 8,5 kgL = 0,6 mm_ball = 4 kgg = 9,81 m/s²

ω = rad/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis plonas 8,5 kg masės ir 1,2 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 40 g masės kulka, horizontaliai lekianti 180 m/s greičiu, pataiko į strypą 0,63 m žemiau šarnyro ir įstringa. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią kampą φ nuo vertikalės, per kurį strypas pasisuka.

M = 8,5 kgL = 1,2 mm = 40 gv = 180 m/sd = 0,63 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

1,5 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 3). Sliekratis turi 72 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 80%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_w ant sliekračio veleno.

z = 3N_w = 72n = 1440 rpmP = 1,5 kWη = 80%

T_w = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Atviras diržas jungia 125 mm ir 400 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 1200 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.

d₁ = 125 mmd₂ = 400 mmC = 1200 mm

θ = °

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 2,8 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 2,8 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

12 g kulka, lekianti 350 m/s greičiu, pataiko į 1 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 1800 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 12 gv = 350 m/sM = 1 kgk = 1800 N/m

A = cm

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 5 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,6. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 40 kgk = 5 kN/mζ = 0,6

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

25 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 20 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 25 kN/m ir k₂ = 50 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 25 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·8) = 25 m

Atsakymas

s = 25 m

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 16,83 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Aukštis virš žemės

h_max = 15 + 1,835 = 16,83 m

Atsakymas

h_max = 16,83 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 2,812 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Atsakymas

a = 2,812 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 19,62 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 7,357)/6,5 = 4,905 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·4,905 + 7,357 = 19,62 N

Atsakymas

T = 19,62 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: y = 5,124 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Laikas iki sienos

v_x = 32·cos 20° = 30,07 m/s

t = x/v_x = 47/30,07 = 1,563 s

Aukštis tuo momentu

y = 10,94·1,563 − ½·9,81·1,563² = 5,124 m

Atsakymas

y = 5,124 m

Prie sienos kamuolys jau leidžiasi žemyn.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: x = 59,95 m

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 45° = 14,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 45° = 14,85 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 20 + 14,85·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,85 + √(220,5 + 392,4))/9,81 = 4,037 s

Horizontalus atstumas

x = v_x·t = 14,85·4,037 = 59,95 m

Atsakymas

x = 59,95 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 12,08 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(170·9,81·tan 5°) = 12,08 m/s

Atsakymas

v = 12,08 m/s

(43,48 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 31,43 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 7² − 4·9,81·0,7 = 21,53 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,5·21,53/0,7 − 1,5·9,81 = 31,43 N

Atsakymas

T_top = 31,43 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 5,097 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·1500·0,1² = 7,5 J

Aukštis

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 7,5/1,472 = 5,097 m

Atsakymas

h = 5,097 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 11,24 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 20·9,81 = 196,2 N

mg·sin θ = 98,1 N

μ·mg·cos θ = 25,49 N

Darbas ir energija

½mv² = (250 − 123,6)·10 = 1264 J

v = √(2·1264/20) = 11,24 m/s

Atsakymas

v = 11,24 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = −2,692 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1,5 − 5)/(1,5 + 5)·5 = −2,692 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 5)·5 = 2,308 m/s

Atsakymas

v′₁ = −2,692 m/s

Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: F_avg = 420 N

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,3·(5 + 9) = 4,2 N·s

Vidutinė jėga

F_avg = J/Δt = 4,2/0,01 = 420 N

Atsakymas

F_avg = 420 N

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 6,283 rad/s

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 8,5·9,81·0,3 + 4·9,81·0,6 = 48,56 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 1,02 + 1,44 = 2,46 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 48,56 → ω = √(2·48,56/2,46) = 6,283 rad/s

Atsakymas

ω = 6,283 rad/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: φ = 18,19 °

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Inercijos momentas po smūgio

I = M·L²/3 + m·d² = 8,5·1,2²/3 + 0,04·0,63² = 4,096 kg·m²

Judesio kiekio momentas šarnyro atžvilgiu

Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.

m·v·d = I·ω → ω = 0,04·180·0,63/4,096 = 1,107 rad/s

Energija svyravimo metu

½·I·ω² = ½·4,096·1,107² = 2,512 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 50,28·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 2,512/50,28 = 0,95 → φ = 18,19°

Atsakymas

φ = 18,19°

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_w = 191 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 1440·3/72 = 60 rpm

Išėjimo sukimo momentas

ω_w = 2π·60/60 = 6,283 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,8·1500/6,283 = 191 N·m

Atsakymas

T_w = 191 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: θ = 166,8 °

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo kampas

asin(0,1146) = 6,58°

Apkabos kampas

θ = 180 − 2·6,58 = 166,8°

Atsakymas

θ = 166,8°

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 3,357 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(2,8/9,81) = 3,357 s

Atsakymas

T = 3,357 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 9,841 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,012·350/1,012 = 4,15 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(1800/1,012) = 42,17 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 4,15/42,17 = 0,09841 m = 9,841 cm

Atsakymas

A = 9,841 cm

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,424 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(5000/40) = 11,18 rad/s

f_n = 11,18/(2π) = 1,779 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,779·√(1 − 0,6²) = 1,424 Hz

Atsakymas

f_d = 1,424 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 4 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 25 + 50 = 75 kN/m

k_eq = 75·20/(75 + 20) = 15,79 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(15789/25) = 25,13 rad/s

f_n = 25,13/(2π) = 4 Hz

Atsakymas

f_n = 4 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics