Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
80 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,6 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 7,5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.
Tramvajus pajuda iš vietos ir 4 s greitėja 3 m/s² pagreičiu, tada 24 s važiuoja pastoviu greičiu ir galiausiai stabdo 2,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite visą atstumą s tarp dviejų stotelių.
4 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.
5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.
Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 36 m/s greičiu ir turi nukristi 85 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.
Kamuolys 11 m/s greičiu 20° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 35 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.
Automobilis važiuoja horizontaliu 55 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,5. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį vmax, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.
0,8 kg rutuliukas ant lengvo 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 8,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą Ttop aukščiausiame taške.
Automobilis, važiuojantis lygiu keliu 40 km/h greičiu, staigiai stabdo ir užblokuotais ratais slysta iki sustojimo. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,4. Raskite stabdymo kelią d.
0,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3,5 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 800 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.
3,5 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′1 po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).
0,4 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 16 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 8 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.
Vienalytis plonas 5,5 kg masės ir 1,3 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jo kampinį pagreitį α iškart po paleidimo.
vientisas rutulys, kurio masė 18 kg, be slydimo rieda 9 m/s greičiu. Raskite jo sukimosi kinetinę energiją Erot.
4 kW variklis, besisukantis 2900 rpm greičiu, suka krumpliaratuką su 18 dantų, kurio modulis 5 mm. Raskite tangentinę jėgą Ft, veikiančią krumpliaratuko dantis.
Atviras diržas jungia 80 mm varantįjį skriemulį, sukamą 960 rpm, su 250 mm skriemuliu; ašys nutolusios 500 mm. Trinties koeficientas yra 0,35, o įtemptosios šakos įtempimas neturi viršyti 1200 N. Raskite didžiausią galią P, kurią diržas gali perduoti neslysdamas, kW (išcentrinių jėgų neįskaitykite).
Astronautas kitoje planetoje nustato, kad 1 m ilgio matematinės švytuoklės mažų svyravimų periodas yra 2,11 s. Raskite laisvojo kritimo pagreitį g toje planetoje.
2,8 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 200 N/m, atitraukiamas 4 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią greitį vmax.
10 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 1 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 50 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.
5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 15 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 100 kN/m ir k₂ = 30 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
Atsakymas: d = 46,26 m
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: s = 340,8 m
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: a = 2,356 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.
Atsakymas: a = 3,614 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Atsakymas: θ = 20,02 °
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Kitas sprendinys yra 90° − θ = 69,98°.
Atsakymas: H = 35,72 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Atsakymas: vmax = 16,42 m/s
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: Ttop = 43,33 N
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.
Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.
Atsakymas: d = 15,73 m
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Padvigubinus greitį, stabdymo kelias pailgėja keturis kartus.
Atsakymas: x = 19,65 cm
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.
Atsakymas: v′1 = 5,556 m/s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.
Atsakymas: J = 9,6 N·s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Atsakymas: α = 11,32 rad/s²
Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.
Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.
Atsakymas: Erot = 291,6 J
Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.
Atsakymas: Ft = 292,7 N
Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: Ft = 2T/d.
Atsakymas: P = 3,014 kW
Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.
Atsakymas: g = 8,867 m/s²
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: vmax = 0,3381 m/s
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: ζ = 0,25
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.
Atsakymas: fn = 8,254 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics