Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

100 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 8 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 100 km/ha = −8 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 9 m/s greičiu nuo stogo, esančio 15 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 9 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

8 kg ir 4,5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 8 kgm₂ = 4,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

8 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 38 m/s greičiu ir turi nukristi 55 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 38 m/sR = 55 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 13 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 45 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 95 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 95 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

50 m spindulio posūkis turi 30° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas aukštyn ir į išorę.

r = 50 mθ = 30°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg kūnas nuslysta 12 m nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,15. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 0,5 kgθ = 45°μ = 0,15d = 12 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

10 kg kaladėlė iš rimties būsenos 15° šlaito apačioje traukiama aukštyn šlaitu pastovia 90 N jėga, lygiagrečia šlaitui. Kinetinės trinties koeficientas 0,3. Raskite kaladėlės greitį v, kai ji pasislenka 3 m aukštyn šlaitu.

m = 10 kgF = 90 Nθ = 15°μ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

10 g kulka horizontaliai įšaunama į 2 kg medinį tašelį, kabantį ant lengvų siūlų, ir jame įstringa. Tašelis atsilenkia ir pakyla 23 cm aukščiau nei pradžioje. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.

m = 10 gM = 2 kgh = 23 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

1300 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 800 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 4 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,75. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v₁ prieš pat susidūrimą.

m₁ = 1300 kgm₂ = 800 kgd = 4 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 2,5 kg masės ir 2,2 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir paleidžiamas iš rimties horizontalioje padėtyje. Prie jo laisvojo galo pritvirtintas mažas 5 kg masės rutuliukas. Trinties nepaisykite ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite laisvojo galo greitį v, kai strypas praeina vertikalią padėtį.

m = 2,5 kgL = 2,2 mm_ball = 5 kgg = 9,81 m/s²

v = m/s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis plonas 7,5 kg masės ir 0,8 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 40 g masės kulka, horizontaliai lekianti 180 m/s greičiu, pataiko į strypą 0,77 m žemiau šarnyro ir įstringa. Raskite strypo kampinį greitį ω iškart po smūgio.

M = 7,5 kgL = 0,8 mm = 40 gv = 180 m/sd = 0,77 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 200 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 720 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 400 N, laisvosios – 80 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 200 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 400 NT₂ = 80 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

5,5 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (16 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (32 dantų). Krumpliaratis C (18 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (40 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 95%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 5,5 kWn_in = 960 rpmA = 16B = 32C = 18D = 40η_mesh = 95%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

4 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 380 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 4 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 2 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 4 kgk = 380 N/mA = 4 cmx = 2 cm

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 250 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 17 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 14 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

k = 250 N/mA = 17 cmx = 14 cm

K = J

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

20 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 4 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 110 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 20 kgk = 4 kN/mc = 110 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

100 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 5 kN/m ir k₂ = 40 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 40 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 3,472 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/8 = 3,472 s

Atsakymas

t = 3,472 s

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 19,13 m

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9,81) = 4,128 m

Aukštis virš žemės

h_max = 15 + 4,128 = 19,13 m

Atsakymas

h_max = 19,13 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 56,51 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (8 − 4,5)·9,81/(8 + 4,5) = 2,747 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš lengvesnio krovinio

T − m₂·g = m₂·a → T = 4,5·(9,81 + 2,747) = 56,51 N

Atsakymas

T = 56,51 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 37,73 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 19,62)/13 = 2,264 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·2,264 + 19,62 = 37,73 N

Atsakymas

T = 37,73 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 10,97 °

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·55/38² = 0,3736

Kampas

2θ = 21,94° → θ = 10,97°

Atsakymas

θ = 10,97°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 79,03°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: α = 76,71 °

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 13·cos 55° = 7,456 m/s

v_y0 = 13·sin 55° = 10,65 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(10,65² + 2·9,81·45) = 31,56 m/s

Atsitrenkimo kampas

tan α = v_y/v_x = 31,56/7,456 → α = 76,71°

Atsakymas

α = 76,71°

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 23,65 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·95) = 23,65 m/s

Atsakymas

v_max = 23,65 m/s (85,13 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 20,76 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta žemyn šlaitu.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(50·9,81·0,6732/0,766) = 20,76 m/s

Atsakymas

v_max = 20,76 m/s

(74,74 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 6,243 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 4,905·0,7071 = 3,468 N

F = μN = 0,15·3,468 = 0,5203 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 0,5203·12 = 6,243 J

Atsakymas

W_f = 6,243 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,659 m/s

Jėgos išilgai nuokalnės

m·g = 10·9,81 = 98,1 N

mg·sin θ = 25,39 N

μ·mg·cos θ = 28,43 N

Darbas ir energija

½mv² = (90 − 53,82)·3 = 108,5 J

v = √(2·108,5/10) = 4,659 m/s

Atsakymas

v = 4,659 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v = 427 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Atsilenkimas po smūgio

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,23) = 2,124 m/s

Susidūrimas

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 2)·2,124/0,01 = 427 m/s

Atsakymas

v = 427 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v₁ = 12,39 m/s

Greitis po susidūrimo

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·4) = 7,672 m/s

Judesio kiekis susidūrimo metu

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2100·7,672/1300 = 12,39 m/s

Atsakymas

v₁ = 12,39 m/s

(44,62 km/h)

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: v = 6,801 m/s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Potencinės energijos sumažėjimas

m·g·L/2 + m_ball·g·L = 2,5·9,81·1,1 + 5·9,81·2,2 = 134,9 J

Inercijos momentas šarnyro atžvilgiu

I_O = m·L²/3 + m_ball·L² = 4,033 + 24,2 = 28,23 kg·m²

Energijos balansas

½·I_O·ω² = 134,9 → ω = √(2·134,9/28,23) = 3,091 rad/s

v = ω·L = 3,091·2,2 = 6,801 m/s

Atsakymas

v = 6,801 m/s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 3,414 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentas po smūgio

I = M·L²/3 + m·d² = 7,5·0,8²/3 + 0,04·0,77² = 1,624 kg·m²

Judesio kiekio momentas šarnyro atžvilgiu

Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.

m·v·d = I·ω → ω = 0,04·180·0,77/1,624 = 3,414 rad/s

Atsakymas

ω = 3,414 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 2,413 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 7,54 m/s

Galia

P = (400 − 80)·7,54 = 2413 W = 2,413 kW

Atsakymas

P = 2,413 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 219,4 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 960·(16/32)·(18/40) = 216 rpm

ω_out = 2π·216/60 = 22,62 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 5500·0,95² = 4964 W

T_out = P_out/ω_out = 4964/22,62 = 219,4 N·m

Atsakymas

T_out = 219,4 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,3376 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(380/4) = 9,747 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 9,747·√(0,04² − 0,02²) = 0,3376 m/s

Atsakymas

v = 0,3376 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: K = 1,163 J

Visa energija

E = ½·k·A² = ½·250·0,17² = 3,613 J

Spyruoklės energija taške x

U = ½·k·x² = ½·250·0,14² = 2,45 J

Kinetinė energija

K = 3,613 − 2,45 = 1,163 J

Atsakymas

K = 1,163 J

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,1945

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·20) = 565,7 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 110/565,7 = 0,1945

Atsakymas

ζ = 0,1945

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 45 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 40 = 45 kN/m

Atsakymas

k_eq = 45 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics