Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
60 km/h greičiu važiuojanti vairuotoja pamato kliūtį. Jos reakcijos laikas 0,7 s, po kurio automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu. Raskite visą stabdymo kelią d nuo momento, kai ji pamato kliūtį.
Raketos modelis paleidžiamas vertikaliai aukštyn iš rimties būsenos. Variklis 3 s suteikia jai pastovų 36 m/s² pagreitį aukštyn, po to variklis išsijungia ir raketa juda laisvai. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo paleidimo ji atsitrenkia į žemę? Raskite t.
7 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 30° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.
4,5 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 6 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,3. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.
Kamuolys metamas 60° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite horizontalų atstumą x, kurį kamuolys nuskrenda iki atsitrenkdamas į žemę.
Kamuolys 10 m/s greičiu 55° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 20 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Kokiu kampu α žemiau horizontalės jis atsitrenkia į žemę?
Kelių inžinierius nori, kad automobiliai 150 m spindulio posūkį įveiktų 90 km/h greičiu nesiremdami trintimi. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite posvyrio kampą θ.
170 m spindulio posūkis turi 30° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią greitį vmin, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas žemyn šlaitu.
1 kg rutuliukas kabo ant lengvo 3 m ilgio siūlo. Jis atitraukiamas, kol siūlas su vertikale sudaro 30° kampą, ir paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite siūlo įtempimo jėgą T, kai rutuliukas eina pro žemiausią tašką.
4 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4 m ilgio juostą (μ = 0,1) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.
0,5 kg vežimėlis, judantis 9 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′1 po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).
0,45 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 30 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 18 m/s greičiu. Sąlytis trunka 10 ms. Raskite vidutinę jėgą Favg, kuria siena veikia kamuolį.
Smagratis, kurio inercijos momentas 25,5 kg·m², sukasi 1400 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 140 N·m. Per kiek laiko t jis sustoja?
Vienalytis plonas 4,5 kg masės ir 1,1 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 50 g masės kulka, horizontaliai lekianti 260 m/s greičiu, pataiko į strypą 0,44 m žemiau šarnyro ir įstringa. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią kampą φ nuo vertikalės, per kurį strypas pasisuka.
1,5 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 3). Sliekratis turi 48 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 65%. Raskite išėjimo sukimo momentą Tw ant sliekračio veleno.
Atviras diržas jungia 150 mm ir 500 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 800 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.
2 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 500 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 7 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 6 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.
2,4 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 120 N/m, atitraukiamas 15 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį amax.
Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 12 mm poslinkio amplitudės po 3 ciklų seka 3,9 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.
5 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 40 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 12 kN/m ir k₂ = 20 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
Atsakymas: d = 39,44 m
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Atsakymas: t = 26,43 s
Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.
Lygtį −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² spręskite ir imkite teigiamą šaknį.
Atsakymas: a = 4,055 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.
Atsakymas: a = 4,344 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Atsakymas: x = 17,3 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Pradžia ir nusileidimas tame pačiame aukštyje: t = 2vy/g.
Atsakymas: α = 75,02 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.
Atsakymas: θ = 23,01 °
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Atsakymas: vmin = 25,61 m/s
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Trintis nukreipta aukštyn šlaitu.
Atsakymas: T = 12,44 N
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Judant apskritimu, į centrą nukreipta atstojamoji jėga turi būti lygi mv²/r.
Patikra: T = mg(3 − 2cos θ) = 12,44 N.
Atsakymas: x = 14,69 cm
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.
Atsakymas: v′1 = −7,2 m/s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.
Minuso ženklas reiškia, kad pirmasis vežimėlis atšoka atgal.
Atsakymas: Favg = 2160 N
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Atsakymas: t = 26,7 s
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Atsakymas: φ = 50,65 °
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.
Atsakymas: Tw = 102,7 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Atsakymas: θ = 154,7 °
Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.
Atsakymas: v = 0,5701 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Atsakymas: amax = 7,5 m/s²
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: ζ = 0,05952
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Atsakymas: fn = 9,49 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Lygiagrečiai sujungtos tik k1 ir k2. Ši pora nuosekliai sujungta su k3, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics