Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
50 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.
Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 17 m/s greičiu nuo stogo, esančio 40 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį hmax virš žemės.
19 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.
10 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 4 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.
Kamuolys metamas 70° kampu į horizontą nuo lygios žemės. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite didžiausią aukštį H, kurį pasiekia kamuolys.
Kamuolys metamas 20° kampu į horizontą nuo 5 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.
Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 2,4 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią sukimosi dažnį n apsisukimais per minutę.
1,9 kg rutuliukas ant lengvo 1,3 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 10,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą Ttop aukščiausiame taške.
1800 kg automobilis važiuoja į 2° šlaitą pastoviu 72 km/h greičiu. Oro ir riedėjimo pasipriešinimas kartu sudaro 200 N. Raskite galią P, kurią turi perduoti ratai (kW).
4 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 4 m ilgio juostą (μ = 0,25) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 2000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.
4,5 kg vežimėlis, judantis 7 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 0,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′2 po susidūrimo.
800 kg automobilis atsitrenkia į stovintį 1700 kg automobilį. Sukibę automobiliai nuslysta 25 m ir sustoja. Kinetinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,75. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite pirmojo automobilio greitį v1 prieš pat susidūrimą.
Smagratis, kurio inercijos momentas 19 kg·m², sukasi 800 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 110 N·m. Kiek apsisukimų N padaro smagratis, kol sustoja?
vientisas rutulys be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 25° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jis pradeda iš rimties. Per kiek laiko t jis nurieda 6,5 m nuožulnia plokštuma?
Sliekas (pradų skaičius 4) sukasi 2900 rpm greičiu ir suka sliekratį su 60 dantų. Raskite sliekračio sukimosi greitį nw.
Atviras diržas jungia 120 mm ir 315 mm skriemulius, kurių ašys nutolusios 800 mm. Raskite apkabos kampą θ ant mažesniojo skriemulio laipsniais.
Matematinės švytuoklės ilgis – 1,2 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.
Krovinys ant spyruoklės, kurios k = 310 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 9 cm amplitude. Raskite jo kinetinę energiją K, kai jis yra 8 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.
Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 10 mm poslinkio amplitudės po vieno ciklo seka 8,8 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.
50 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 25 kN/m, apatinės k₂ = 5 kN/m. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą keq kN/m.
Atsakymas: t = 2,778 s
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: hmax = 54,73 m
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Atsakymas: a = 5,203 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.
Atsakymas: a = 2,803 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Atsakymas: H = 30,42 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Viršuje vertikalusis greitis lygus nuliui: vy² = 2gH.
Atsakymas: t = 2,681 s
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.
Išspręskite y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.
Atsakymas: n = 21,59 rpm
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Atsakymas: Ttop = 67,94 N
Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.
Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.
Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.
Atsakymas: P = 16,33 kW
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d). Galia lygi jėgos ir greičio sandaugai: P = F·v.
Atsakymas: v = 8,859 m/s
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.
Atsakymas: v′2 = 12,6 m/s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.
Atsakymas: v1 = 59,94 m/s
Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.
Atsakymas: N = 96,47 rev
Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.
Atsakymas: t = 2,095 s
Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.
Atsakymas: nw = 193,3 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
Atsakymas: θ = 166 °
Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = eμθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.
Atsakymas: T = 2,198 s
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: K = 0,2635 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Atsakymas: ζ = 0,02034
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Atsakymas: keq = 4,167 kN/m
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics