Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

45 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 6,5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 45 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 20 m/s greičiu nuo stogo, esančio 5 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 20 m/sh₀ = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

9,5 kg ir 3,5 kg kroviniai kabo abipus lengvo skridinio be trinties, sujungti lengvu siūlu. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 3,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

2 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 2,5 kg kroviniu. Kinetinės trinties koeficientas tarp kūno ir stalo yra 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite sistemos pagreitį a.

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 36 m/s greičiu ir turi nukristi 80 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.

v₀ = 36 m/sR = 80 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 27 m/s greičiu 25° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 10 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite greitį v, kuriuo jis atsitrenkia į žemę.

v₀ = 27 m/sθ = 25°h = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

340 m spindulio posūkis turi 25° posvyrį. Kokiu greičiu v automobilis gali jį įveikti visai be trinties? Imkite g = 9,81 m/s².

r = 340 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

2 kg rutuliukas ant 1 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 9 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 2 kgr = 1 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Žaislinis paleidiklis turi vertikalią 500 N/m standumo spyruoklę. Ant jos padedamas 0,1 kg rutuliukas, spyruoklė suspaudžiama 3 cm ir atleidžiama. Nepaisydami oro pasipriešinimo ir spyruoklės masės, raskite aukštį h, į kurį pakyla rutuliukas, matuojant nuo jo padėties suspaudus spyruoklę.

m = 0,1 kgk = 500 N/mx = 3 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Darbas ir energijaSunkus

4 kg kaladėlė guli ant šiurkštaus horizontalaus stalo (μ = 0,15). Lengvas siūlas nuo jos eina per lygų skridinį stalo krašte prie kabančios 3 kg kaladėlės. Sistema paleidžiama be pradinio greičio. Raskite kaladėlių greitį v, kai kabanti kaladėlė nusileidžia 3 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgμ = 0,15d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

2 kg vežimėlis, judantis 11 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,3 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 26 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 16 m/s greičiu. Sąlytis trunka 20 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,3 kgv_in = 26 m/sv_out = 16 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

4,5 kg masės blokas kabo ant lengvos virvės, apvyniotos ant skriemulio – vienalyčio vientiso 4 kg masės ir 0,5 m spindulio disko, besisukančio ant besitrinties horizontaliosios ašies. Blokas paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite virvės įtempimą T.

m = 4,5 kgM = 4 kgR = 0,5 mg = 9,81 m/s²

T = N

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

plonas lankas be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 40° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią statinės trinties koeficientą μ_s, kuriam esant jis neslysta.

θ = 40°I = m·r²g = 9,81 m/s²

μ_s =

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

3 kW variklis, besisukantis 1440 rpm greičiu, suka slieką (pradų skaičius 3). Sliekratis turi 50 dantų, o pavaros naudingumo koeficientas 75%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_w ant sliekračio veleno.

z = 3N_w = 50n = 1440 rpmP = 3 kWη = 75%

T_w = N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (15 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 2880 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (50 dantų). Krumpliaratis C (45 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 810 rpm greičiu. Kiek dantų N_D turi turėti krumpliaratis D?

n_in = 2880 rpmA = 15B = 50C = 45n_out = 810 rpm

N_D =

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

3,8 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 320 N/m, svyruoja ant paviršiaus be trinties 7 cm amplitude. Raskite jo greitį v, kai jis yra 5 cm atstumu nuo pusiausvyros padėties.

m = 3,8 kgk = 320 N/mA = 7 cmx = 5 cm

v = m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 230 N/m, atitraukiamas 9 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 3,5 kgk = 230 N/mA = 9 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

40 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 12 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 140 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

m = 40 kgk = 12 kN/mc = 140 N·s/m

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

5 kg masė kabo ant dviejų viena po kitos sujungtų (nuosekliai) spyruoklių: viršutinės k₁ = 100 kN/m, apatinės k₂ = 80 kN/m. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 5 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 12,02 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·6,5) = 12,02 m

Atsakymas

s = 12,02 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,314 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−5 = 20·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 20·t − 5 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (20 + √(20² + 2·9,81·5))/9,81 = 4,314 s

Atsakymas

t = 4,314 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 50,18 N

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Pagreitis

Varomoji atstojamoji jėga yra svorių skirtumas; ji judina visą masę.

a = (9,5 − 3,5)·9,81/(9,5 + 3,5) = 4,528 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš lengvesnio krovinio

T − m₂·g = m₂·a → T = 3,5·(9,81 + 4,528) = 50,18 N

Atsakymas

T = 50,18 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,014 m/s²

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 1,962)/4,5 = 5,014 m/s²

Atsakymas

a = 5,014 m/s²

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: θ = 18,63 °

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Nuotolio formulė

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·80/36² = 0,6056

Kampas

2θ = 37,27° → θ = 18,63°

Atsakymas

θ = 18,63°

Kitas sprendinys yra 90° − θ = 71,37°.

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v = 30,42 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

v_x = 27·cos 25° = 24,47 m/s

v_y0 = 27·sin 25° = 11,41 m/s

Vertikalusis greitis atsitrenkiant

Energija arba v² = v₀² + 2as vertikaliąja kryptimi.

v_y = √(11,41² + 2·9,81·10) = 18,07 m/s

Greitis atsitrenkiant

v = √(24,47² + 18,07²) = 30,42 m/s

Atsakymas

v = 30,42 m/s

Patikrinkite energija: v² = v₀² + 2gh.

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v = 39,44 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Jėgų pusiausvyra

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Greitis

v = √(r·g·tan θ) = √(340·9,81·tan 25°) = 39,44 m/s

Atsakymas

v = 39,44 m/s

(142 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 181,6 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·9²/1 = 19,62 + 162 = 181,6 N

Atsakymas

T = 181,6 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: h = 0,2294 m

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Spyruoklės energija

x = 3 cm = 0,03 m

½kx² = ½·500·0,03² = 0,225 J

Aukštis

m·g = 0,1·9,81 = 0,981 N

h = ½kx²/(mg) = 0,225/0,981 = 0,2294 m

Atsakymas

h = 0,2294 m

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,492 m/s

Išsiskyrusi ir prarasta energija

m₂g·d = 29,43·3 = 88,29 J

μ·m₁g·d = 0,15·39,24·3 = 17,66 J

Abiejų kaladėlių kinetinė energija

½(m₁ + m₂)v² = 70,63 → v = √(2·70,63/7) = 4,492 m/s

Atsakymas

v = 4,492 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 6,286 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (2 − 5)/(2 + 5)·11 = −4,714 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 5)·11 = 6,286 m/s

Atsakymas

v′₂ = 6,286 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 12,6 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,3·(16 + 26) = 12,6 N·s

Atsakymas

J = 12,6 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: T = 13,58 N

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Blokas ir skriemulys

kaladėlė: m·g − T = m·a

skriemulys: T·R = I·α = ½·M·R²·(a/R) → T = ½·M·a

Pagreitis

a = m·g/(m + M/2) = 4,5·9,81/(4,5 + 2) = 6,792 m/s²

Įtempimas

T = m·(g − a) = 4,5·(9,81 − 6,792) = 13,58 N

Atsakymas

T = 13,58 N

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: μ_s = 0,4195

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Judėjimo lygtys

m·g·sin θ − f = m·a

f·r = I·α = 1·m·r²·(a/r) → f = 1·m·a

Pagreitis

a = g·sin θ/(1 + c) = 9,81·sin 40°/2 = 3,153 m/s²

Reikalinga trintis

f = c·m·a ≤ μ·m·g·cos θ → μ ≥ c·tan θ/(1 + c)

μ_s = 1·tan 40°/2 = 0,4195

Atsakymas

μ_s = 0,4195

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_w = 248,7 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Sliekračio greitis

n_w = n·z/N_w = 1440·3/50 = 86,4 rpm

Išėjimo sukimo momentas

ω_w = 2π·86,4/60 = 9,048 rad/s

T_w = η·P/ω_w = 0,75·3000/9,048 = 248,7 N·m

Atsakymas

T_w = 248,7 N·m

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N_D = 48

Tarpinio veleno greitis

n_B = n_C = 2880·15/50 = 864 rpm

Krumpliaračio D dantys

N_D = C·n_C/n_out = 45·864/810 = 48

Atsakymas

N_D = 48

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: v = 0,4496 m/s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(320/3,8) = 9,177 rad/s

Greitis taške x

v = ω·√(A² − x²) = 9,177·√(0,07² − 0,05²) = 0,4496 m/s

Atsakymas

v = 0,4496 m/s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 5,914 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(230/3,5) = 8,106 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,09·8,106² = 5,914 m/s²

Atsakymas

a_max = 5,914 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,101

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Kritinis slopinimas

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·40) = 1386 N·s/m

Slopinimo koeficientas

ζ = c/c_c = 140/1386 = 0,101

Atsakymas

ζ = 0,101

ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 15,01 Hz

Ekvivalentinis standumas

Nuosekliai sujungtas spyruokles veikia ta pati jėga, o jų deformacijos sudedamos, todėl sudedamos atvirkštinės vertės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/100 + 1/80 → k_eq = 100·80/(100 + 80) = 44,44 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(44444/5) = 94,28 rad/s

f_n = 94,28/(2π) = 15,01 Hz

Atsakymas

f_n = 15,01 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics