Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.
Pastoviu 18 m/s greičiu lekiantis automobilis pravažiuoja stovintį policijos automobilį. Tuo momentu policijos automobilis pajuda ir tolygiai greitėja 2 m/s² pagreičiu. Per kiek laiko policijos automobilis pasiveja? Raskite t.
Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 13 m/s greičiu nuo stogo, esančio 30 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.
12 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.
Dvi kaladėlės ant lygių grindų sujungtos lengvu horizontaliu siūlu. Horizontali 105 N jėga traukia priekinę 12 kg kaladėlę; 6 kg kaladėlė velkama iš paskos. Abiejų kaladėlių kinetinės trinties koeficientas 0,2. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jungiamojo siūlo įtempimo jėgą T.
Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 30 m/s greičiu ir turi nukristi 35 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažesnįjį iš dviejų galimų išmetimo kampų θ.
Kamuolys nuo žemės paviršiaus išmetamas 31 m/s greičiu 60° kampu virš horizontalės. Jis nukrinta ant plokščio 8 m aukščio pastato stogo, jau leisdamasis žemyn. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite horizontalųjį atstumą x nuo išmetimo taško iki nusileidimo vietos.
Atrakcione „rotorius“ žmonės stovi prie vertikalaus 2,1 m spindulio cilindro sienos. Kai jis sukasi pakankamai greitai, grindys nusileidžia, o žmones išlaiko trintis. Statinės trinties koeficientas 0,8. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią sukimosi dažnį n apsisukimais per minutę.
0,9 kg rutuliukas ant lengvo 1,3 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 10,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą Ttop aukščiausiame taške.
5 kg kūnas nuslysta 7 m nuokalne, pasvirusia 25° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite darbą Wf, atliktą prieš trintį.
5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 3,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 3 m ilgio juostą (μ = 0,15) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.
4 kg vežimėlis, judantis 7 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 3,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′1 po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).
8 g kulka horizontaliai įšaunama į 2,5 kg tašelį, kabantį ant lengvų 0,5 m ilgio siūlų, ir jame įstringa. Siūlai atsilenkia didžiausiu 30° kampu nuo vertikalės. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kulkos greitį v prieš smūgį.
Variklis duoda 610 N·m sukimo momentą esant 1000 rpm. Raskite jo išėjimo galią P kW.
vientisas rutulys pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 30° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jo spindulys yra 0,2 m. Raskite jo kampinį greitį ω, kai jis nuriedėjo 2,5 m išilgai nuožulnios plokštumos.
2,2 kW variklis, besisukantis 1450 rpm greičiu, suka krumpliaratį, kurio dantų skaičius 18; šis sukimba su krumpliaračiu, kurio dantų skaičius 30. Nuostolių nepaisykite. Raskite išėjimo sukimo momentą T2 varomojo krumpliaračio velene.
Sudėtinėje krumpliaračių pavaroje krumpliaratis A (12 dantų) ant įėjimo veleno sukasi 1440 rpm greičiu ir suka krumpliaratį B (30 dantų). Krumpliaratis C (12 dantų) pritvirtintas prie to paties veleno kaip B ir suka krumpliaratį D ant išėjimo veleno. Išėjimo velenas turi suktis 230,4 rpm greičiu. Kiek dantų ND turi turėti krumpliaratis D?
Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,9 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.
0,3 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 240 N/m, atitraukiamas 20 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį amax.
25 kg masę laiko spyruoklė, kurios standumas 15 kN/m, ir klampusis slopintuvas, kurio slopinimo koeficientas 610 N·s/m. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.
50 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 30 kN/m ir k₂ = 50 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį fn Hz.
Atsakymas: t = 18 s
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Tuo momentu policijos automobilis juda greičiu 2v = 36 m/s.
Atsakymas: t = 4,131 s
Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.
Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.
Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.
Atsakymas: a = 5,896 m/s²
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.
Atsakymas: T = 35 N
Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.
Kai abiejų kaladėlių μ vienodas, trintis išnyksta: T = F·m₁/(m₁ + m₂).
Atsakymas: θ = 11,21 °
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Kitas sprendinys yra 90° − θ = 78,79°.
Atsakymas: x = 79,93 m
Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = vxt ir y = h + vyt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.
Didesnioji šaknis: kamuolys leidžiasi.
Atsakymas: n = 23,08 rpm
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Atsakymas: Ttop = 32,18 N
Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.
Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.
Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.
Atsakymas: Wf = 62,24 J
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Atsakymas: x = 27,35 cm
Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).
Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.
Atsakymas: v′1 = 0,4667 m/s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.
Atsakymas: v = 359,4 m/s
Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.
Atsakymas: P = 63,88 kW
Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.
Atsakymas: ω = 20,93 rad/s
Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.
Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.
Atsakymas: T2 = 24,15 N·m
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
Atsakymas: ND = 30
Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.
Atsakymas: L = 0,897 m
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: amax = 160 m/s²
Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².
Atsakymas: ζ = 0,4981
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
ζ < 1, todėl sistema slopinama nepakankamai ir slopstant virpa.
Atsakymas: fn = 6,366 Hz
Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ωn = √(k/m) rad/s, o fn = ωn/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/cc, kur kritinis slopinimas cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ωd = ωn·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k1 + k2.
ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics