Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

100 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 4 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Raskite stabdymo kelią s.

v₀ = 100 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 17 m/s greičiu nuo stogo, esančio 25 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

8 kg kūnas slysta žemyn nuokalne, pasvirusia 45° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 8 kgθ = 45°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

2,5 kg kaladėlė ant 20° rampos lengvu siūlu per skridinį be trinties rampos viršuje sujungta su kabančiu 5,5 kg kroviniu. Kabantis krovinys juda žemyn. Kinetinės trinties tarp kaladėlės ir rampos koeficientas 0,25. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 5,5 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 15° kampu virš horizontalės ir nukrinta 140 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 15°R = 140 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 15° kampu į horizontą nuo 30 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 23 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Mažas rutuliukas ant 1,4 m ilgio siūlo juda horizontaliu apskritimu taip, kad siūlas su vertikale sudaro pastovų 35° kampą (kūginė švytuoklė). Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vieno apsisukimo trukmę T.

L = 1,4 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,9 kg rutuliukas ant lengvo 0,7 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 10,5 m/s. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T_top aukščiausiame taške.

m = 1,9 kgr = 0,7 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

2,5 kg kūnas nuslysta 14 m nuokalne, pasvirusia 40° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 2,5 kgθ = 40°μ = 0,2d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

0,5 kg vežimėlis paleidžiamas be pradinio greičio 5,6 m aukštyje ant lygaus bėgio, vedančio į vertikalią apskritą 2 m spindulio kilpą. Raskite normalinę jėgą N, kuria bėgis veikia vežimėlį kilpos viršuje.

m = 0,5 kgh = 5,6 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

5 kg vežimėlis, judantis 10 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 0,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite pirmojo vežimėlio greitį v′₁ po susidūrimo (teigiamą jo pradine judėjimo kryptimi).

m₁ = 5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,2 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 20 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 19 m/s greičiu. Sąlytis trunka 50 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,2 kgv_in = 20 m/sv_out = 19 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Smagratis, kurio inercijos momentas 22 kg·m², sukasi 900 rpm. Stabdys sukuria pastovų trinties momentą 85 N·m. Per kiek laiko t jis sustoja?

I = 22 kg·m²n = 900 rpmT_b = 85 N·m

t = s

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis plonas 9 kg masės ir 0,8 m ilgio strypas ramiai kabo ant besitrinties šarnyro viršutiniame gale. 20 g masės kulka, horizontaliai lekianti 280 m/s greičiu, pataiko į strypą 0,72 m žemiau šarnyro ir įstringa. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią kampą φ nuo vertikalės, per kurį strypas pasisuka.

M = 9 kgL = 0,8 mm = 20 gv = 280 m/sd = 0,72 mg = 9,81 m/s²

φ = °

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Diržas juda ant 100 mm varančiojo skriemulio, kuris sukasi 960 rpm. Įtemptosios šakos įtempimas yra 1500 N, laisvosios – 750 N. Raskite perduodamą galią P kW.

d₁ = 100 mmn₁ = 960 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 750 N

P = kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

Planetinėje pavaroje saulės krumpliaratis turi 20 dantų, o kiekvienas satelitas – 30 dantų. Vedžiklis nejudamas, o saulės krumpliaratis sukamas 1440 rpm greičiu. Raskite vainikinio krumpliaračio sukimosi greitį n_r (didumą).

N_s = 20N_p = 30n_s = 1440 rpm

n_r = rpm

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Matematinės švytuoklės ilgis – 0,6 m. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite jos periodą T, kai svyravimai maži.

L = 0,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

2,5 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 410 N/m, atitraukiamas 8 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 2,5 kgk = 410 N/mA = 8 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

Slopinamos masės ir spyruoklės sistemos laisvųjų virpesių bandyme po 25 mm poslinkio amplitudės po 4 ciklų seka 15,1 mm amplitudė. Raskite santykinį slopinimo koeficientą ζ.

x₀ = 25 mmx₄ = 15,1 mmn = 4

ζ =

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

50 kg masė kabo ant spyruoklės k₃ = 20 kN/m. Spyruoklės k₃ viršus pritvirtintas prie standaus strypo, kabančio ant dviejų greta esančių spyruoklių k₁ = 50 kN/m ir k₂ = 50 kN/m; strypas lieka horizontalus. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių bei strypo masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 50 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 20 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: s = 96,45 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Stabdymo kelias

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·4) = 96,45 m

Atsakymas

s = 96,45 m

2.Kinematika

Atsakymas: t = 4,579 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−25 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 25 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·25))/9,81 = 4,579 s

Atsakymas

t = 4,579 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,896 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 45° − 0,15·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,1061) = 5,896 m/s²

Atsakymas

a = 5,896 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 26,59 N

Jėgos išilgai siūlo

m₂·g = 53,96 N

m₁·g·sin θ = 8,388 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,761 N

Sistemos pagreitis

a = (53,96 − 8,388 − 5,761)/8 = 4,976 m/s²

Siūlo įtempimo jėga iš kabančio krovinio

m₂·g − T = m₂·a → T = 5,5·(9,81 − 4,976) = 26,59 N

Atsakymas

T = 26,59 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 52,41 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·140/sin 30°) = 52,41 m/s

Atsakymas

v₀ = 52,41 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 3,153 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 15° = 22,22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 15° = 5,953 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 30 + 5,953·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,953 + √(35,44 + 588,6))/9,81 = 3,153 s

Atsakymas

t = 3,153 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 2,148 s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Apskritimo spindulys

r = L·sin θ = 1,4·sin 35° = 0,803 m

Greitis

Įtempimo ir sunkio jėgos kartu duoda į centrą nukreiptą jėgą: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,803·9,81·tan 35°) = 2,349 m/s

Periodas

T = 2π·r/v = 2π·0,803/2,349 = 2,148 s

Atsakymas

T = 2,148 s

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T_top = 206,1 N

Greitis viršuje

Kinetinė energija 2r aukštyje virsta potencine energija.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·0,7 = 82,78 m²/s²

Jėgos viršuje

Įtempimo ir sunkio jėgos abi nukreiptos žemyn, į centrą.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,9·82,78/0,7 − 1,9·9,81 = 206,1 N

Atsakymas

T_top = 206,1 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 52,6 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 24,53·0,766 = 18,79 N

F = μN = 0,2·18,79 = 3,757 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 3,757·14 = 52,6 J

Atsakymas

W_f = 52,6 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: N = 2,943 N

Greitis viršuje

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(5,6 − 4) = 31,39 m²/s²

Jėgos viršuje

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·31,39/2 − 4,905 = 2,943 N

Atsakymas

N = 2,943 N

Vežimėlis vos apvažiuoja kilpą, kai h = 2,5R; tada viršuje N = 0.

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₁ = 8,182 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (5 − 0,5)/(5 + 0,5)·10 = 8,182 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 0,5)·10 = 18,18 m/s

Atsakymas

v′₁ = 8,182 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 7,8 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,2·(19 + 20) = 7,8 N·s

Atsakymas

J = 7,8 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: t = 24,39 s

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·900/60 = 94,25 rad/s

Lėtėjimas ir laikas

α = T_b/I = 85/22 = 3,864 rad/s²

t = ω/α = 94,25/3,864 = 24,39 s

Atsakymas

t = 24,39 s

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: φ = 28,21 °

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Inercijos momentas po smūgio

I = M·L²/3 + m·d² = 9·0,8²/3 + 0,02·0,72² = 1,93 kg·m²

Judesio kiekio momentas šarnyro atžvilgiu

Šarnyro jėga eina per šarnyrą, todėl smūgio metu ten momento neturi.

m·v·d = I·ω → ω = 0,02·280·0,72/1,93 = 2,089 rad/s

Energija svyravimo metu

½·I·ω² = ½·1,93·2,089² = 4,211 J

(M·g·L/2 + m·g·d)·(1 − cos φ) = 35,46·(1 − cos φ)

cos φ = 1 − 4,211/35,46 = 0,8812 → φ = 28,21°

Atsakymas

φ = 28,21°

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: P = 3,77 kW

Diržinės pavaros: be slydimo abiejų skriemulių lanko greitis vienodas, v = π·d·n/60, todėl n₁·d₁ = n₂·d₂, o greičių santykis yra d₂/d₁. Slydimas s varomąjį skriemulį šiek tiek sulėtina: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Perduodama galia P = (T₁ − T₂)·v, kai T₁ yra įtemptosios, o T₂ – laisvosios šakos įtempimas. Trintis riboja įtempimų santykį: T₁/T₂ = e^μθ, kai θ yra apkabos kampas radianais ant mažesniojo skriemulio; atviram diržui θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)), kai ašių atstumas C.

Diržo greitis

v = 5,027 m/s

Galia

P = (1500 − 750)·5,027 = 3770 W = 3,77 kW

Atsakymas

P = 3,77 kW

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: n_r = 360 rpm

Planetinės pavaros: saulės krumpliaračio, vainiko ir vedžiklio greičius sieja Viliso lygtis (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: žiūrint iš vedžiklio, tai paprasta krumpliaračių pavara, kurioje satelitai yra tarpiniai krumpliaračiai. Užfiksavus vieną narį, pavara tampa reduktoriumi su vienu perdavimo skaičiumi.

Vainikinio krumpliaračio dantys

N_r = N_s + 2·N_p = 20 + 2·30 = 80

Viliso lygtis, kai vedžiklis nejudamas

Kai n_c = 0, saulės krumpliaratis per satelitus suka vainiką, o satelitai veikia kaip tarpiniai krumpliaračiai.

n_r = −n_s·N_s/N_r = −1440·20/80 = −360 rpm

|n_r| = 360 rpm

Atsakymas

n_r = 360 rpm

Vainikas sukasi priešinga kryptimi nei saulės krumpliaratis.

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: T = 1,554 s

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Švytuoklės periodas

T = 2π·√(0,6/9,81) = 1,554 s

Atsakymas

T = 1,554 s

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 13,12 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(410/2,5) = 12,81 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,08·12,81² = 13,12 m/s²

Atsakymas

a_max = 13,12 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: ζ = 0,02006

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Logaritminis slopinimo dekrementas

δ = (1/4)·ln(25/15,1) = 0,126

Slopinimo koeficientas

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,126/√(39,48 + 0,01589) = 0,02006

Atsakymas

ζ = 0,02006

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,906 Hz

Ekvivalentinis standumas

Lygiagrečiai sujungtos tik k₁ ir k₂. Ši pora nuosekliai sujungta su k₃, todėl junkite jas sudėdami atvirkštines vertes.

k₁₂ = 50 + 50 = 100 kN/m

k_eq = 100·20/(100 + 20) = 16,67 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(16667/50) = 18,26 rad/s

f_n = 18,26/(2π) = 2,906 Hz

Atsakymas

f_n = 2,906 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics