Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

Lėktuvui pakilti reikia 300 km/h greičio, o naudojamo pakilimo tako ilgis 1700 m. Kokio pastovaus pagreičio a jam reikia, pradedant iš vietos?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1700 m

a = m/s²

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 13 m/s greičiu nuo stogo, esančio 10 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį h_max virš žemės.

v₀ = 13 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Niutono dėsniaiVidutinis

40 kg dėžė pastoviu greičiu stumiama aukštyn 35° kampu į horizontalę pasvirusia rampa jėga, lygiagrečia rampai. Kinetinės trinties koeficientas 0,4. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite stūmimo jėgą F.

m = 40 kgθ = 35°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Niutono dėsniaiSunkus

Kaladėlė stumtelima taip, kad ji pradeda slysti aukštyn 25° rampa 8,5 m/s greičiu. Kinetinės trinties koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Kokį atstumą d rampa ji nuslysta, kol sustoja?

v₀ = 8,5 m/sθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 55° kampu virš horizontalės ir nukrinta 130 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 55°R = 130 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys 12 m/s greičiu 45° kampu virš horizontalės paleidžiamas nuo 60 m aukščio skardžio viršaus. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią aukštį H virš žemės skardžio papėdėje.

v₀ = 12 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja horizontaliu 90 m spindulio posūkiu. Rimties trinties koeficientas tarp padangų ir kelio yra 0,6. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite didžiausią greitį v_max, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį neslysdamas.

r = 90 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

1,1 kg rutuliukas ant 1,5 m ilgio siūlo sukamas vertikaliu apskritimu. Žemiausiame taške jo greitis 5,5 m/s. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T žemiausiame taške.

m = 1,1 kgr = 1,5 mv = 5,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Darbas ir energijaVidutinis

Kūnas be pradinio greičio slysta nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Kinetinės trinties koeficientas yra 0,15. Raskite jo greitį v, nuslydus 12 m nuokalne.

θ = 35°μ = 0,15d = 12 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Darbas ir energijaSunkus

2,5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 4000 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite didžiausią spyruoklės suspaudimą x.

m = 2,5 kgh = 1 mL = 2 mμ = 0,2k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

0,5 kg vežimėlis, judantis 4 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 1,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

0,1 kg kamuolys atsitrenkia į sieną 20 m/s greičiu ir atšoka tiesiai atgal 4 m/s greičiu. Sąlytis trunka 25 ms. Raskite jėgos impulso, kurį siena suteikia kamuoliui, modulį J.

m = 0,1 kgv_in = 20 m/sv_out = 4 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Variklis smagratį, kurio inercijos momentas 26,5 kg·m², per 15 s iš rimties išsuka iki 1300 rpm. Nepaisydami nuostolių, raskite vidutinę jo tiekiamą galią P_avg kW.

I = 26,5 kg·m²n = 1300 rpmt = 15 s

P_avg = kW

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

Vienalytis vientisas diskas (masė 39 kg, spindulys 0,1 m) laisvai sukasi 600 rpm apie vertikalų besitrinantį velenėlį be trinties. Plonas 20 kg masės to paties spindulio žiedas numetamas ant jo iš rimties, centruotas veleno atžvilgiu, ir abu greitai susisuka kartu. Raskite jų bendrą greitį n₂ rpm.

M_disc = 39 kgM_ring = 20 kgR = 0,1 mn₁ = 600 rpm

n₂ = rpm

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 250 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 5 mm, o greičio sumažinimas 3 : 1. Kiek dantų N₁ turi turėti krumpliaratukas?

a = 250 mmm = 5 mmi = 3

N₁ =

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

4 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (30 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (50 dantų). Krumpliaratis C (20 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (45 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 97%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 4 kWn_in = 960 rpmA = 30B = 50C = 20D = 45η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

4 kg krovinys ant spyruoklės, kurios k = 130 N/m, atitraukiamas 3 cm teigiama kryptimi ir momentu t = 0 paleidžiamas be pradinio greičio. Raskite jo poslinkį x nuo pusiausvyros padėties momentu t = 0,7 s (su ženklu).

m = 4 kgk = 130 N/mA = 3 cmt = 0,7 s

x = cm

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

20 g kulka, lekianti 150 m/s greičiu, pataiko į 1,5 kg tašelį, gulintį ant paviršiaus be trinties, ir jame įstringa. Tašelis pritvirtintas prie horizontalios spyruoklės, kurios k = 1600 N/m. Raskite atsiradusių svyravimų amplitudę A cm.

m = 20 gv = 150 m/sM = 1,5 kgk = 1600 N/m

A = cm

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

80 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 40 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,4. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 80 kgk = 40 kN/mζ = 0,4

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

20 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 80 kN/m ir k₂ = 60 kN/m. Masė lieka horizontali. Raskite spyruoklių sistemos ekvivalentinį standumą k_eq kN/m.

m = 20 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 60 kN/m

k_eq = kN/m

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: a = 2,042 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Vienetai

v = 300/3,6 = 83,33 m/s

Pagreitis

a = v²/(2s) = 83,33²/(2·1700) = 2,042 m/s²

Atsakymas

a = 2,042 m/s²

2.Kinematika

Atsakymas: h_max = 18,61 m

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Pakilimas virš stogo

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9,81) = 8,614 m

Aukštis virš žemės

h_max = 10 + 8,614 = 18,61 m

Atsakymas

h_max = 18,61 m

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: F = 353,6 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Jėgos išilgai nuokalnės

Pastovus greitis: jėgos atsveria viena kitą.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Stūmimo jėga

F = 225,1 + 128,6 = 353,6 N

Atsakymas

F = 353,6 N

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: d = 7,175 m

Lėtėjimas

Abi jėgos nukreiptos žemyn šlaitu; masė susiprastina.

a = 9,81·(sin 25° + 0,1·cos 25°) = 5,035 m/s²

Kelias

d = v₀²/(2a) = 8,5²/(2·5,035) = 7,175 m

Atsakymas

d = 7,175 m

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 36,84 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·130/sin 110°) = 36,84 m/s

Atsakymas

v₀ = 36,84 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: H = 63,67 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Vertikalusis pradinis greitis

v_y = 12·sin 45° = 8,485 m/s

Pakilimas virš skardžio

Δh = v_y²/(2g) = 8,485²/(2·9,81) = 3,67 m

Aukštis virš žemės

H = 60 + 3,67 = 63,67 m

Atsakymas

H = 63,67 m

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 23,02 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Trintis sukuria įcentrinę jėgą

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·90) = 23,02 m/s

Atsakymas

v_max = 23,02 m/s (82,86 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: T = 32,97 N

Jėgos žemiausiame taške

Į centrą (aukštyn) – teigiama kryptis.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,1·9,81 + 1,1·5,5²/1,5 = 10,79 + 22,18 = 32,97 N

Atsakymas

T = 32,97 N

9.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 10,3 m/s

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Energijos balansas nuokalne

Kūnas nusileidžia d·sin θ aukščiu, o trintis atima μmg·cos θ·d. Masė susiprastina.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·12·(0,5736 − 0,15·0,8192)) = 10,3 m/s

Atsakymas

v = 10,3 m/s

10.Darbas ir energija

Atsakymas: x = 8,578 cm

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 24,53·(1 − 0,2·2) = 14,71 J

Didžiausias suspaudimas

½kx² = 14,71 → x = √(2·14,71/4000) = 0,08578 m = 8,578 cm

Atsakymas

x = 8,578 cm

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 2 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (0,5 − 1,5)/(0,5 + 1,5)·4 = −2 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 1,5)·4 = 2 m/s

Atsakymas

v′₂ = 2 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: J = 2,4 N·s

Judesio kiekio pokytis

J = m·Δv = 0,1·(4 + 20) = 2,4 N·s

Atsakymas

J = 2,4 N·s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: P_avg = 16,37 kW

Rotation about a fixed axis: the sum of the moments about the axis equals I·α (ΣM = I·α), just as ΣF = m·a for translation. In energy form, a torque T turning through an angle θ (in radians) does work T·θ, which changes the kinetic energy ½·I·ω²; gravity adds or removes m·g·Δh of the centre of mass. Power is P = T·ω.

Kampinis greitis

ω = 2π·1300/60 = 136,1 rad/s

Energija

E = ½·I·ω² = ½·26,5·136,1² = 245561 J

Vidutinė galia

P_avg = E/t = 245561/15 = 16371 W = 16,37 kW

Atsakymas

P_avg = 16,37 kW

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: n₂ = 296,2 rpm

Rolling and angular momentum: a body rolling without slipping has v = ω·r, so its kinetic energy is ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Down a slope that gives a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). When no external moment acts about an axis, the angular momentum about that axis stays constant, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, even if kinetic energy is lost.

Inercijos momentai

I₁ = ½·39·0,1² = 0,195 kg·m²

I₂ = 20·0,1² = 0,2 kg·m²

Judesio kiekio momento tvermė

n₂ = n₁·I₁/(I₁ + I₂) = 600·0,195/0,395 = 296,2 rpm

Atsakymas

n₂ = 296,2 rpm

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₁ = 25

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·250/5 = 100

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 100/(1 + 3) = 25

Atsakymas

N₁ = 25

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 140,4 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 960·(30/50)·(20/45) = 256 rpm

ω_out = 2π·256/60 = 26,81 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 4000·0,97² = 3764 W

T_out = P_out/ω_out = 3764/26,81 = 140,4 N·m

Atsakymas

T_out = 140,4 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: x = −1,982 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Kampinis dažnis

ω = √(130/4) = 5,701 rad/s

ω·t = 5,701·0,7 = 3,991 rad

Poslinkis

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(3,991) = −1,982 cm

Atsakymas

x = −1,982 cm

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: A = 6,083 cm

Greitis po smūgio

V = m·v/(m + M) = 0,02·150/1,52 = 1,974 m/s

Kampinis dažnis

ω = √(k/(m + M)) = √(1600/1,52) = 32,44 rad/s

Amplitudė

A = V/ω = 1,974/32,44 = 0,06083 m = 6,083 cm

Atsakymas

A = 6,083 cm

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 3,262 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(40000/80) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,4²) = 3,262 Hz

Atsakymas

f_d = 3,262 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: k_eq = 140 kN/m

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 60 = 140 kN/m

Atsakymas

k_eq = 140 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics