Dinamika: pasiruošimo paketas

Formulių lapai, pagrindiniai kiekvienos temos metodų žingsniai ir 20 uždavinių, o pilni sprendimai pateikti gale.

Nauji uždaviniai Atgal į kursą

Spausdinimo lange pasirinkite „Išsaugoti kaip PDF“, kad nuosavą kopiją išsaugotumėte savo įrenginyje.

1Formulės ir metodai

Kinematika

Greitis: v = v₀ + a·t
Poslinkis: s = v₀·t + ½·a·t²
Be laiko: v² = v₀² + 2·a·s
Vienetai: 1 m/s = 3,6 km/h

Metodas

Išvardykite, ką žinote: v₀, v, a, t ir s, su vienetais.
Pasirinkite lygtį, kurioje yra trys žinomi dydžiai ir ieškomasis.
Pasirinkite vieną teigiamą kryptį, o priešingos krypties dydžiams suteikite minuso ženklą.
Išspręskite ir patikrinkite, ar atsakymas fiziškai prasmingas.

Niutono dėsniai

Antrasis dėsnis: ΣF = m·a
Svoris: W = m·g
Kinetinė trintis: F_f = μ·N
Nuokalnėje: išilgai: m·g·sin θ, statmenai: m·g·cos θ

Metodas

Nubraižykite laisvojo kūno diagramą su visomis kūną veikiančiomis jėgomis.
Pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi.
Jėgas išskaidykite į dedamąsias išilgai judėjimo ir statmenai jam (nuokalnėje: m·g·sin θ išilgai, m·g·cos θ į nuokalnę).
Išilgai judėjimo taikykite ΣF = m·a; trintis lygi μ·N ir nukreipta prieš judėjimą.

Sviedinio judėjimas

Dedamosios: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Padėtis: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Didžiausias aukštis: H = h + v_y²/(2g)
Nuotolis (lygus paviršius): R = v₀²·sin 2θ/g

Metodas

Pradinį greitį išskaidykite į dedamąsias: v_x = v₀·cos θ ir v_y = v₀·sin θ.
Horizontalusis judėjimas vyksta pastoviu greičiu; vertikaliojo judėjimo pagreitis yra −g.
Skrydžio laiką raskite iš vertikaliojo judėjimo.
Šį laiką naudokite horizontaliajame judėjime nuotoliui rasti.

Judėjimas apskritimu

Įcentrinis pagreitis: a = v²/r = ω²·r
Įcentrinė jėga: F = m·v²/r
Kampinis greitis: ω = v/r = 2π/T
Horizontalus posūkis, trintis: v_max = √(μ·g·r)

Darbas ir energija

Kinetinė energija: E_k = ½mv²
Potencinė energija: E_p = mgh
Energijos balansas: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trinties darbas: W = μ·N·d
Galia: P = W/t

Judesio kiekis ir susidūrimai

Judesio kiekis: p = m·v
Tvermė: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Absoliučiai netamprus smūgis: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Jėgos impulsas: J = F·Δt = m·Δv

Metodas

Pasirinkite teigiamą kryptį ir kiekvienam greičiui suteikite ženklą.
Užrašykite bendrą judesio kiekį prieš susidūrimą: Σm·v.
Po absoliučiai netampraus susidūrimo kūnai juda kartu; tampriajame susidūrime išlieka ir kinetinė energija.
Prilyginkite judesio kiekį prieš susidūrimą judesio kiekiui po jo ir išspręskite.

Standžiojo kūno sukimasis

Inercijos momentai G atžvilgiu: strypas mL²/12, diskas ½mR², žiedas mR², vientisas rutulys (2/5)mR², tuščiaviduris rutulys (2/3)mR²
Šteinerio teorema: I = I_G + m·d²
Inercijos spindulys: I = m·k²
Strypas apie galą: I = mL²/3
Judėjimo lygtis: ΣM = I·α
Greitis rad/s: ω = 2π·n/60
Kinetinė energija: E = ½·I·ω²
Darbas ir galia: W = T·θ, P = T·ω
Riedėjimas be slydimo: v = ω·r, E = ½mv²(1 + I/(mr²)), a = g·sin θ/(1 + I/(mr²))
Judesio kiekio momentas: L = I·ω, I₁ω₁ = I₂ω₂
Smūgis į šarnyrą: m·v·d = I·ω

Metodas

Pasirinkite ašį: nejudamą šarnyrą arba masės centrą riedantiems kūnams.
Iš standartinių rezultatų raskite inercijos momentą tos ašies atžvilgiu, perkeltai ašiai naudodami I = I_G + m·d².
Pasirinkite metodą: ΣM = I·α pagreičiams ir jėgoms, energiją (½·I·ω² + ½·m·v² + m·g·h) greičiams, judesio kiekio momentą smūgiams ir staigiems pokyčiams.
Tiesinį ir sukamąjį judėjimą susiekite pagal v = ω·r ir a = α·r, o rpm perskaičiuokite į rad/s.

Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Sukibę krumpliaračiai: n₁·N₁ = n₂·N₂
Sukimo momentas: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
Galia: P = T·ω, ω = 2π·n/60
Daugiapakopė pavara: bendras perdavimo skaičius = pakopų perdavimo skaičių sandauga

Spyruoklės ir švytuoklės

Svarelis ant spyruoklės: T = 2π·√(m/k)
Švytuoklė: T = 2π·√(L/g)
Kampinis dažnis: ω = √(k/m) = 2π/T
Didžiausi greitis ir pagreitis: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energija: E = ½·k·A²

Mechaniniai virpesiai

Savasis dažnis: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
Iš statinio įlinkio: ω_n = √(g/δ_st)
Kritinis slopinimas: c_c = 2√(km) = 2mω_n
Slopinimo koeficientas: ζ = c/c_c
Slopinamųjų virpesių dažnis: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
Logaritminis slopinimo dekrementas: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
Lygiagrečiai sujungtos spyruoklės: k = k₁ + k₂
Nuosekliai sujungtos spyruoklės: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2Uždaviniai

1.KinematikaVidutinis

108 km/h greičiu važiuojantis automobilis stabdo pastoviu 5 m/s² lėtėjimu, kol sustoja. Kiek trunka stabdymas? Raskite t.

v₀ = 108 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.KinematikaSunkus

Kamuolys metamas vertikaliai aukštyn 7 m/s greičiu nuo stogo, esančio 30 m virš žemės, krašto. Oro pasipriešinimo nepaisykite, g = 9,81 m/s². Po kiek laiko nuo metimo jis nukris ant žemės? Raskite t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Niutono dėsniaiVidutinis

7 kg kūnas slysta žemyn nuokalne be trinties, pasvirusia 35° kampu į horizontą. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite kūno pagreitį a išilgai nuokalnės.

m = 7 kgθ = 35°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Niutono dėsniaiSunkus

6 kg kūnas ant horizontalaus stalo lengvu siūlu, permestu per skridinį be trinties, sujungtas su pakabintu 1,5 kg kroviniu. Stalas be trinties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite siūlo įtempimo jėgą T.

m₁ = 6 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Sviedinio judėjimasVidutinis

Kamuolys nuo lygios žemės paleidžiamas 45° kampu virš horizontalės ir nukrinta 65 m atstumu. Nepaisykite oro pasipriešinimo ir imkite g = 9,81 m/s². Raskite pradinį greitį v₀.

θ = 45°R = 65 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Sviedinio judėjimasSunkus

Kamuolys metamas 50° kampu į horizontą nuo 45 m aukščio uolos viršaus. Oro pasipriešinimo nepaisykite. Raskite skrydžio laiką t, kol kamuolys atsitrenks į žemę.

v₀ = 30 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Judėjimas apskritimuVidutinis

Automobilis važiuoja per kelio kauburio viršūnę, kuri yra 60 m spindulio apskritimo lankas. Imkite g = 9,81 m/s². Viršijus kokį greitį v_max ratai viršūnėje atitrūksta nuo kelio?

r = 60 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Judėjimas apskritimuSunkus

160 m spindulio posūkis turi 30° posvyrį, o statinės trinties tarp padangų ir kelio koeficientas 0,1. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite mažiausią greitį v_min, kuriuo automobilis gali įveikti posūkį nenuslysdamas žemyn šlaitu.

r = 160 mθ = 30°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Darbas ir energijaVidutinis

0,5 kg kūnas nuslysta 20 m nuokalne, pasvirusia 35° kampu į horizontą, kai kinetinės trinties koeficientas 0,2. Raskite darbą W_f, atliktą prieš trintį.

m = 0,5 kgθ = 35°μ = 0,2d = 20 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Darbas ir energijaSunkus

5 kg kūnas be pradinio greičio paleidžiamas 1,5 m aukštyje ant lygios rampos. Apačioje jis kerta šiurkščią horizontalią 2,5 m ilgio juostą (μ = 0,2) ir tada užvažiuoja ant spyruoklės (k = 1500 N/m) lygiu paviršiumi. Raskite kūno greitį v, kai jis pasiekia spyruoklę.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 2,5 mμ = 0,2k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimaiVidutinis

1 kg vežimėlis, judantis 7 m/s greičiu, absoliučiai tampriai centriškai susiduria su stovinčiu 4,5 kg vežimėliu ant bėgelio be trinties. Raskite antrojo vežimėlio greitį v′₂ po susidūrimo.

m₁ = 1 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimaiSunkus

Sankryžoje į rytus 14 m/s greičiu važiuojantis 1100 kg automobilis susiduria su į šiaurę 16 m/s greičiu važiuojančiu 1600 kg automobiliu. Automobiliai sukimba. Raskite automobilių nuolaužų greitį v′ iškart po susidūrimo.

m₁ = 1100 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1600 kgv₂ = 16 m/s (N)

v′ = m/s

13.Standžiojo kūno sukimasisVidutinis

Vienalytis plonas 6,5 kg masės ir 2,4 m ilgio strypas vienu galu pritvirtintas šarnyru ir laikomas horizontaliai. Jis paleidžiamas iš rimties. Imkite g = 9,81 m/s². Raskite vertikaliąją jėgą R, kuria šarnyras veikia strypą iškart po paleidimo.

m = 6,5 kgL = 2,4 mg = 9,81 m/s²

R = N

14.Standžiojo kūno sukimasisSunkus

tuščiaviduris rutulys pradeda judėti iš rimties ir be slydimo rieda nuožulnia plokštuma, pakreipta 20° kampu į horizontalę. Imkite g = 9,81 m/s². Jo spindulys yra 0,4 m. Raskite jo kampinį greitį ω, kai jis nuriedėjo 7,5 m išilgai nuožulnios plokštumos.

θ = 20°s = 7,5 mI = (2/3)·m·r²g = 9,81 m/s²r = 0,4 m

ω = rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosVidutinis

Du lygiagretūs velenai yra 90 mm atstumu vienas nuo kito. Juos reikia sujungti cilindrinių tiesiadančių krumpliaračių pora, kurios modulis 1,5 mm, o greičio sumažinimas 3 : 1. Kiek dantų N₂ turi turėti krumpliaratis?

a = 90 mmm = 1,5 mmi = 3

N₂ =

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavarosSunkus

1,5 kW variklis, besisukantis 960 rpm greičiu, suka krumpliaratį A (24 dantų), kuris sukimba su krumpliaračiu B (25 dantų). Krumpliaratis C (30 dantų), esantis ant to paties veleno kaip B, suka krumpliaratį D (50 dantų) ant išėjimo veleno. Kiekvieno sukibimo naudingumo koeficientas 97%. Raskite išėjimo sukimo momentą T_out.

P = 1,5 kWn_in = 960 rpmA = 24B = 25C = 30D = 50η_mesh = 97%

T_out = N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklėsVidutinis

Kokio ilgio turi būti matematinė švytuoklė, kad jos periodas būtų 1,1 s? Imkite g = 9,81 m/s². Raskite L.

T = 1,1 sg = 9,81 m/s²

L = m

18.Spyruoklės ir švytuoklėsSunkus

3,2 kg svarelis ant spyruoklės, kurios k = 50 N/m, atitraukiamas 18 cm nuo pusiausvyros padėties ir paleidžiamas. Raskite jo didžiausią pagreitį a_max.

m = 3,2 kgk = 50 N/mA = 18 cm

a_max = m/s²

19.Mechaniniai virpesiaiVidutinis

100 kg masė ant spyruoklės, kurios standumas 15 kN/m, turi klampųjį slopintuvą, kurio santykinis slopinimo koeficientas 0,3. Raskite jos laisvųjų slopinamųjų virpesių savąjį dažnį f_d Hz.

m = 100 kgk = 15 kN/mζ = 0,3

f_d = Hz

20.Mechaniniai virpesiaiSunkus

40 kg masė kabo ant dviejų greta esančių (lygiagrečiai sujungtų) spyruoklių, kurių standumai k₁ = 5 kN/m ir k₂ = 5 kN/m. Masė lieka horizontali. Nepaisykite slopinimo ir spyruoklių masių. Raskite vertikaliųjų virpesių savąjį dažnį f_n Hz.

m = 40 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3Tirpalai

1.Kinematika

Atsakymas: t = 6 s

Judėjimas pastoviu pagreičiu: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² ir v² = v₀² + 2·a·s. Pasirinkite lygtį, į kurią įeina trys žinomi dydžiai ir ieškomasis, ir ženklus derinkite su viena teigiama kryptimi.

Vienetai

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Stabdymo trukmė

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 30/5 = 6 s

Atsakymas

t = 6 s

2.Kinematika

Atsakymas: t = 3,288 s

Judėjimo lygtis

Aukštyn – teigiama kryptis, žemė yra h₀ žemiau pradinio taško.

−30 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 30 = 0

Išspręskite kvadratinę lygtį

Fizikinę prasmę turi tik teigiama šaknis.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,288 s

Atsakymas

t = 3,288 s

3.Niutono dėsniai

Atsakymas: a = 5,627 m/s²

Antrasis Niutono dėsnis: kūną veikiančių jėgų atstojamoji lygi jo masės ir pagreičio sandaugai, ΣF = m·a. Nubraižykite laisvojo kūno diagramą, pasirinkite teigiamą kryptį judėjimo kryptimi ir sudėkite visas jėgas ta kryptimi: veikiančias jėgas, judėjimui priešingą trintį μ·N ir sunkio jėgos dedamąsias.

Jėgos išilgai nuokalnės

Žemyn nuokalne – teigiama kryptis.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Pagreitis

a = 9,81·(sin 35° − 0·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0) = 5,627 m/s²

Atsakymas

a = 5,627 m/s²

4.Niutono dėsniai

Atsakymas: T = 11,77 N

Sistemos pagreitis

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/7,5 = 1,962 m/s²

Įtempimo jėga iš kūno ant stalo lygties

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·1,962 + 0 = 11,77 N

Atsakymas

T = 11,77 N

5.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: v₀ = 25,25 m/s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Iš nuotolio formulės išreiškite v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·65/sin 90°) = 25,25 m/s

Atsakymas

v₀ = 25,25 m/s

6.Sviedinio judėjimas

Atsakymas: t = 6,172 s

Sviedinio judėjimas: be oro pasipriešinimo x = v_xt ir y = h + v_yt − ½gt². Abi kryptys nepriklausomos, jas sieja tik tas pats laikas.

Išskaidykite pradinį greitį

Horizontalusis greitis pastovus; vertikalusis judėjimas turi pastovų pagreitį g = 9,81 m/s² žemyn.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 50° = 19,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 50° = 22,98 m/s

Skrydžio laikas

Išspręskite y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 ir imkite teigiamą šaknį.

0 = 45 + 22,98·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22,98 + √(528,1 + 882,9))/9,81 = 6,172 s

Atsakymas

t = 6,172 s

7.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_max = 24,26 m/s

Tolygus judėjimas apskritimu: kūnas, judantis v greičiu r spindulio apskritimu, įgyja į centrą nukreiptą pagreitį a = v²/r, todėl jį turi veikti į centrą nukreipta atstojamoji jėga F = m·v²/r. Šią jėgą sukuria kas nors realaus: trintis, siūlo įtempimas, sunkio jėga arba normalinė jėga.

Normalinė jėga lygi nuliui

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·60) = 24,26 m/s

Atsakymas

v_max = 24,26 m/s

(87,34 km/h)

8.Judėjimas apskritimu

Atsakymas: v_min = 26,61 m/s

Jėgų pusiausvyros

Trintis nukreipta aukštyn šlaitu.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

Greitis

v = √(160·9,81·0,4134/0,916) = 26,61 m/s

Atsakymas

v_min = 26,61 m/s

(95,81 km/h)

9.Darbas ir energija

Atsakymas: W_f = 16,07 J

Darbo ir energijos principas: kinetinės energijos pokytis lygus visų jėgų darbui. Sunkį ir spyruokles užrašius kaip potencinę energiją (mgh ir ½kx²), gaunamas balansas: pradinė energija = galutinė energija + trinčiai prarasta energija (μN·d).

Trinties jėga

N = mg·cos θ = 4,905·0,8192 = 4,018 N

F = μN = 0,2·4,018 = 0,8036 N

Darbas prieš trintį

W_f = F·d = 0,8036·20 = 16,07 J

Atsakymas

W_f = 16,07 J

10.Darbas ir energija

Atsakymas: v = 4,429 m/s

Energija po šiurkščios juostos

Rampa lygi, todėl energiją atima tik juosta.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,2·2,5) = 49,05 J

Greitis prie spyruoklės

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Atsakymas

v = 4,429 m/s

11.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′₂ = 2,545 m/s

Judesio kiekio tvermės dėsnis: kai susidūrimo metu neveikia išorinės jėgos, bendras judesio kiekis Σm·v prieš susidūrimą lygus bendram judesio kiekiui po jo. Greitis turi kryptį, todėl pasirinkite teigiamą kryptį, o priešinga kryptimi nukreiptiems greičiams rašykite minuso ženklą. Tampriojo susidūrimo metu išlieka ir kinetinė energija; absoliučiai netampriojo – kūnai sukimba.

Tamprusis susidūrimas su stovinčiu kūnu

Kartu išsprendus judesio kiekio ir energijos tvermės lygtis, gaunami šie du rezultatai.

v′₁ = (1 − 4,5)/(1 + 4,5)·7 = −4,455 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4,5)·7 = 2,545 m/s

Atsakymas

v′₂ = 2,545 m/s

12.Judesio kiekis ir susidūrimai

Atsakymas: v′ = 11,06 m/s

Judesio kiekio dedamosios

p_x = 1100·14 = 15400 kg·m/s

p_y = 1600·16 = 25600 kg·m/s

Nuolaužų greitis

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 29875/2700 = 11,06 m/s

Atsakymas

v′ = 11,06 m/s

13.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: R = 15,94 N

Sukimasis apie nejudamą ašį: momentų ašies atžvilgiu suma lygi I·α (ΣM = I·α), kaip ΣF = m·a slenkamajam judėjimui. Energijos pavidalu sukimo momentas T, pasukęs kampu θ (radianais), atlieka darbą T·θ, kuris keičia kinetinę energiją ½·I·ω²; sunkis prideda arba atima masės centro m·g·Δh. Galia yra P = T·ω.

Momentai šarnyro atžvilgiu

Paleidimo momentu ω = 0, todėl įcentrinio pagreičio nėra ir centras greitėja tiesiai žemyn.

m·g·L/2 = (m·L²/3)·α → α = 3g/(2L) = 3·9,81/(2·2,4) = 6,131 rad/s²

Vertikaliosios jėgos

a_G = α·L/2 = 7,357 m/s²

m·g − R = m·a_G → R = 6,5·(9,81 − 7,357) = 15,94 N

Atsakymas

R = 15,94 N

R = m·g/4, nepriklauso nuo ilgio.

14.Standžiojo kūno sukimasis

Atsakymas: ω = 13,74 rad/s

Riedėjimas ir judesio kiekio momentas: be slydimo riedančio kūno v = ω·r, todėl jo kinetinė energija yra ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + I/(m·r²)). Nuožulnia plokštuma tai duoda a = g·sin θ/(1 + I/(m·r²)). Kai apie ašį neveikia išorinis momentas, judesio kiekio momentas tos ašies atžvilgiu išlieka pastovus, I₁·ω₁ = I₂·ω₂, net jei kinetinė energija prarandama.

Nukritimo aukštis

h = s·sin θ = 7,5·sin 20° = 2,565 m

Energijos balansas riedant

Riedėjimas be slydimo: ω = v/r, o trintis sąlyčio taške darbo neatlieka.

m·g·h = ½·m·v²·(1 + 0,6667)

v = √(2·9,81·2,565/1,667) = 5,495 m/s

ω = v/r = 5,495/0,4 = 13,74 rad/s

Atsakymas

ω = 13,74 rad/s

15.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: N₂ = 90

Krumpliaračių geometrija: modulis m nustato danties dydį. Krumpliaračio su N dantų dalijamasis skersmuo d = m·N, dviejų sukibusių krumpliaračių moduliai vienodi, o jų tarpašinis atstumas a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. Greitis dalijamajame apskritime v = π·d·n/60, o tangentinė danties jėga gaunama iš sukimo momento: F_t = 2T/d.

Bendras dantų skaičius

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/1,5 = 120

Padalykite pagal perdavimo skaičių

N₁ = 120/(1 + 3) = 30

N₂ = 3·30 = 90

Atsakymas

N₂ = 90

16.Krumpliaračiai ir krumpliaratinės pavaros

Atsakymas: T_out = 24,37 N·m

Krumpliaratinės pavaros: sukibusių krumpliaračių dantų greitis vienodas, todėl n₁·N₁ = n₂·N₂: krumpliaratis su mažiau dantų sukasi greičiau. Ant vieno veleno esantys krumpliaračiai sukasi vienodu greičiu. Galia perduodama toliau (atėmus nuostolius), todėl mažėjant sukimosi greičiui sukimo momentas didėja: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, o P = T·ω, kur ω = 2π·n/60.

Išėjimo sukimosi dažnis

n_out = 960·(24/25)·(30/50) = 553 rpm

ω_out = 2π·553/60 = 57,91 rad/s

Išėjimo galia ir sukimo momentas

P_out = 1500·0,97² = 1411 W

T_out = P_out/ω_out = 1411/57,91 = 24,37 N·m

Atsakymas

T_out = 24,37 N·m

17.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: L = 0,3007 m

Harmoniniai svyravimai: m masės svarelis ant k standumo spyruoklės svyruoja kampiniu dažniu ω = √(k/m), o jo periodas T = 2π/ω = 2π·√(m/k). L ilgio matematinės švytuoklės periodas T = 2π·√(L/g). Kai amplitudė A, didžiausias greitis yra A·ω, didžiausias pagreitis A·ω², o energija ½·k·A².

Išreikškite ilgį

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,1/2π)² = 0,3007 m

Atsakymas

L = 0,3007 m

18.Spyruoklės ir švytuoklės

Atsakymas: a_max = 2,812 m/s²

Kampinis dažnis

ω = √(50/3,2) = 3,953 rad/s

Didžiausias pagreitis

a_max = A·ω² = 0,18·3,953² = 2,812 m/s²

Atsakymas

a_max = 2,812 m/s²

19.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_d = 1,859 Hz

Masės ir spyruoklės sistemos laisvieji virpesiai: neslopinamų virpesių savasis dažnis ω_n = √(k/m) rad/s, o f_n = ω_n/(2π) Hz. Klampusis slopintuvas c lemia slopinimo koeficientą ζ = c/c_c, kur kritinis slopinimas c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. Nepakankamai slopinama sistema (ζ < 1) virpa dažniu ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). Lygiagrečiai sujungtų spyruoklių standumai sudedami, k = k₁ + k₂; nuosekliai sujungtų – sudedamos atvirkštinės vertės, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

Neslopinamų virpesių savasis dažnis

ω_n = √(15000/100) = 12,25 rad/s

f_n = 12,25/(2π) = 1,949 Hz

Slopinamųjų virpesių savasis dažnis

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 1,949·√(1 − 0,3²) = 1,859 Hz

Atsakymas

f_d = 1,859 Hz

20.Mechaniniai virpesiai

Atsakymas: f_n = 2,516 Hz

Ekvivalentinis standumas

Greta esančių spyruoklių deformacija vienoda, o jėgos sudedamos, todėl jų standumai tiesiog sudedami: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 5 = 10 kN/m

Savasis dažnis

ω_n = √(10000/40) = 15,81 rad/s

f_n = 15,81/(2π) = 2,516 Hz

Atsakymas

f_n = 2,516 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/dynamics